Математики СГУ упорядочивают Хаос в гиперболическом пространстве
Мы открываем цикл публикаций об актуальных разработках учёных СГУ с использованием информационных технологий.
Один из таких проектов под названием «Программный комплекс pyv для визуализации игры Хаос на расширенной гиперболической плоскости» стал результатом совместных усилий необычного тандема: теоретическая база комплекса pyv подготовлена доцентом кафедры геометрии СГУ, редактором «Международного электронного журнала геометрии» (International Electronic Journal of Geometry), членом Международного общества «Геометрия и графика» Людмилой Николаевной Ромакиной, а программная составляющая – студентом механико-математического факультета Иваном Ушаковым.
Несмотря на то, что это только начало исследований, интерес к ним со стороны редакций различных журналов уже очевиден. Пока о сфере применения этих изысканий можно только фантазировать. Но уже ясно, что на свет появился новый инструмент моделирования различных процессов с ожидаемым практическим выходом в теорию распознавания образов, генетику, медицину, физику. Появление такого программного комплекса – новый этап в развитии геометрии.
Евклид – не догма!
Чтобы понять, в чём новизна этих исследований, придётся кое-что освежить в памяти. Что мы и сделали с помощью Людмилы Николаевны, которая для визуального восприятия ещё и рисовала на листочках бумаги рисунки, схемы и формулы, без которых геометр обойтись не может.
Изучая основы элементарной геометрии в школе, мы легко усвоили термин «евклидова геометрия». Греческая культура, опираясь на известные факты, дошедшие от других цивилизаций, подарила человечеству стройную систему изложения геометрической теории. Эта система более двух тысячелетий, начиная с III века до н.э., с «Начал» Евклида, представлялась единственно верной и единственно возможной. Но одна её деталь – сложность формулировки пятого постулата Евклида – сильно беспокоила учёных, стимулируя их к длительным и порой изнурительным поискам ответа на вопрос, не является ли этот постулат следствием предыдущих. Заключительное слово по проблеме пятого постулата Евклида принадлежит великому русскому математику Николаю Ивановичу Лобачевскому. Его усердная работа по развитию новой системы существенно обогатила математику.
Труд Николая Ивановича Лобачевского стал настоящей революцией и открыл перед человечеством неисчерпаемые возможности в научном познании мира, полное осмысление и объективная оценка которых – всё ещё дело будущего.
В настоящее время мы находимся в преддверии большого события – 200-летия первого доклада Николая Ивановича Лобачевского по гиперболической геометрии, которую сам учёный называл «воображаемой». Доклад состоялся в Казанском университете в 1826 году. С этого момента начинает свою историю неевклидова геометрия.
Параллельно с развитием новой геометрии шла подготовительная работа по формированию альтернативного метода построения геометрических систем. Интересно, что фундамент этой работы – аналитическая составляющая проективной геометрии – подготовлен в Саратове сапёром армии Наполеона Жаном-Виктором Понселе, ставшим впоследствии выдающимся математиком. Он находился в нашем городе в плену с марта 1813 по июль 1814 года. Интересные факты об этом периоде жизни Понселе собраны, в частности, доцентом нашего университета, историком Виктором Петровичем Тотфалушиным. Спустя почти век после плодотворного пребывания Понселе в Саратове известный математик Гастон Дарбу, выступая на Международном конгрессе математиков, произнёс: «В Саратове, в плену, зародилась новейшая геометрия».
Уже после кончины Николая Ивановича Лобачевского, в 1959 году, английский математик Артур Кэли в «шестом мемуаре о формах» определяет проективный смысл основных инвариантов евклидовой геометрии. А позже, опираясь на работу Кэли, немецкий математик Феликс Клейн предлагает общую схему построения евклидовой и различных неевклидовых геометрий на основе геометрии проективной. Согласно Клейну, двумерная геометрия Лобачевского может быть реализована на внутренней относительно овальной линии области проективной плоскости. Такую модель плоскости Лобачевского теперь называют моделью Кэли-Клейна.
«Заглянуть» за абсолют
А далее совершенно естественно встал вопрос о геометрии на идеальной области плоскости Лобачевского, то есть за пределами ограничивающей овальной линии. Эту линию называют абсолютом плоскости. В отличие от плоскости Лобачевского её идеальная область имеет положительную кривизну. У многих учёных было представление о ней, но вот систематическое исследование объектов этой области по вполне объективным причинам началось значительно позже.
В публикациях представителей различных научных школ прослеживаются попытки «заглянуть» за абсолют, а в 1917 году нидерландским астрономом де Ситтером одна из интерпретаций идеальной области пространства Лобачевского была предложена в качестве космологической модели. Это, казалось бы, повышало интерес научного сообщества к новой геометрии и должно было ускорить её построение. Но предложенная де Ситтером модель – сфера вещественного радиуса в пространстве Минковского – предполагала выход в пространство большей размерности, к тому же не евклидово, а псевдоевклидово! Это сложнейшая задача. Кроме того, до сих пор нет единства взглядов различных научных школ относительно изложения самой геометрии пространства Минковского. Поскольку все твёрдо стояли на этом пути, результатов практически не было.
«Марафон» к юбилею неевклидовой геометрии
Но попытки прогрессивных умов человечества освоить необычную область продолжались, в том числе они актуализировались на механико-математическом факультете СГУ, уже в новом столетии. Первое систематическое описание геометрии гиперболической плоскости положительной кривизны начато в 2010 году в работах Людмилы Николаевны Ромакиной. Она поставила себе целью к 200-летию неевклидовой геометрии провести своеобразный «марафон» и максимально развить геометрию идеальной области плоскости (пространства) Лобачевского. Для неё принципиально важным было не упустить приоритет России в таких исследованиях.
Чтобы хоть немного приблизиться к этой увлекательной, но непростой теме, мы обратились за комментариями к самой Людмиле Николаевне.
– Появление геометрии Лобачевского поставило большой знак вопроса: какие ещё новые геометрии возможно построить, где применимы неевклидовы принципы?
– Сейчас уже известно большое количество неевклидовых геометрий, многие из них неплохо развиты и находят свои приложения в различных областях. Например, в физике хорошо зарекомендовали себя геометрии Минковского и Галилея. В навигации применяют сферическую геометрию, известную, кстати, ещё до геометрии Лобачевского. Саму геометрию Лобачевского активно используют, к примеру, в расчётах процессов ускорения элементарных частиц. Недавно известным геометром Михаилом Петровичем Замаховским было предложено использовать геометрию псевдоевклидовой плоскости для описания поведения рынка. Думаю, что по мере развития математики и науки в целом будут требоваться и другие геометрические системы. Поэтому нужно иметь своеобразный запас их теоретических разработок.
Вопросом о применимости гиперболической геометрии задавался уже сам Николай Иванович Лобачевский. Точнее, он пытался найти проявление законов новой геометрии в астрономии. К сожалению, Николай Иванович не был знаком с проективной моделью своей «воображаемой» геометрии, она появилась позже. Поэтому он не успел понять, что в своих экспериментах неосознанно использовал евклидов способ измерения угловых и линейных величин, т. е. обнаружить закономерности гиперболической геометрии он не мог в принципе.
Вообще, геометрия – это язык, на котором мы можем описать те или иные объекты, процессы. Причём для описания одного и того же процесса можно использовать разные геометрии. Здесь полная аналогия с языками в привычном смысле. Говорят, у северных народов есть около двухсот слов для обозначения снега. Понятно, что при таком богатстве описание красоты морозного дня будет гораздо точнее, чем, скажем, на русском языке.
– А почему человечество до сих пор выбирает евклидову геометрию, понимая, что она не единственная?
– Серьёзный вопрос!.. Действительно, сегодня у многих учёных, и не только учёных, сохраняется представление о евклидовой геометрии как единственно верной для описания окружающего мира. Дело в том, что евклидова геометрия выбрана, или, точнее, наработана, человечеством неслучайно. Выбор евклидовых принципов обусловлен физиологическими особенностями – строением наших глаз. Мы в буквальном смысле видим мир евклидовым. Интересно, что при измерениях мы неосознанно используем мнимые, воображаемые объекты. Так что это ещё вопрос, какая из геометрий более воображаемая!
– На каком этапе сейчас Ваш марафон в честь 200-летия неевклидовой геометрии?
– До последнего времени я занималась в основном теоретическим наполнением геометрии идеальной области плоскости (пространства) Лобачевского: исследовала различные многоугольники и многогранники, линии второго порядка, некоторые замечательные кривые более высоких порядков, некоторые поверхности, рассмотрела интересные преобразования и разбиения плоскости, подготовила платформу для теории площадей и объёмов. Вообще, по меркам человеческой жизни сделано много. Иногда смотрю на список своих публикаций и удивляюсь: когда же я всё это успела? Но потом смотрю на свой список нерешённых задач и удивляюсь ещё больше: когда же я всё это успею?.. Задачи и вопросы геометрии неисчерпаемы, по этим меркам мои исследования – всего лишь песчинка. Но хотелось бы верить, что эта песчинка имеет фрактальный характер и несёт в себе информацию о красоте мира.
Игра Хаос и фракталы
– Кстати, о фракталах! Что это за объекты и как они связаны с игрой Хаос?
– Фракталы – это самоподобные фигуры. Каждый фрагмент фрактальной фигуры подобен самой фигуре. Поскольку эти объекты очень красивы и дают новые методы исследования природных, физических процессов, они очень ярко вошли не только в математику. Свойства фракталов стали использовать в самых различных направлениях – в физике, кристаллографии, геологии, генетике. К одному из таких фракталов относится известный в математике объект – треугольник (или «салфетка») Серпинского. Его можно построить различными способами, в том числе используя игру Хаос. Есть такой термин в математике.
– В чём суть этой игры?
– Случайным образом мы выбираем одну из вершин треугольника и проводим из неё отрезок к случайной точке внутри этого треугольника, затем строим середину этого отрезка. Используя эту точку, опять случайно выбираем одну из трёх вершин, получаем новый отрезок, находим его середину и продолжаем процесс, проводя большое количество итераций. И вдруг оказывается, что все полученные точки занимают вполне определённую область! Уже примерно с пятисотого шага можно заметить закономерность, обнаружить некоторое упорядочение хаоса. Эта закономерность в евклидовой геометрии изучена очень хорошо – помимо треугольников рассмотрены разные варианты многоугольников, трёхмерные аналоги таких фракталов, а вот выход в неевклидову геометрию, например, на гиперболическую плоскость положительной кривизны – это уже новый, интересный шаг.
– Как проходил сам процесс создания разработки по проведению игры Хаос на расширенной гиперболической плоскости?
– Заинтересованность в построении аналога треугольника Серпинского и проведении игры Хаос на идеальной области плоскости Лобачевского появилась у меня в 2010 году при построении первых разбиений. Было интересно, как поведёт себя известная в евклидовом мире динамическая система на плоскости, фундаментальная группа преобразований которой не содержит подобий. Но сначала нужно было подготовить теоретическую базу. Она заключалась в выводе формул деления отрезка в данном отношении, в частности, формул для вычисления координат середин отрезков. Когда формулы были получены и появилась возможность использовать аналитический подход к решению задачи, стала активно искать «попутчиков».
Я очень люблю геометрию, люблю исследовать новые объекты, но, признаться, не очень люблю программировать… Хотя по образованию – учитель математики, информатики и вычислительной техники. Нужно было найти программистов. В прошлом учебном году у меня была запланирована исследовательская практика на втором курсе механико-математического факультета. Уже на первом занятии внимание привлёк студент Иван Ушаков. По всему читалось, что он пришёл покорить мехмат и ищет сложные задачи. Актуальных задач в неевклидовой геометрии немало, но вхождение в тему исследования занимает много времени.
На одно из занятий Иван пришёл в футболке участника Всемирного чемпионата по программированию, в котором себя отлично зарекомендовал СГУ. Я сразу же рассказала ребятам о давнем желании организовать игру Хаос, объяснив особенности её проведения на расширенной гиперболической плоскости. Сказала, что есть подготовленные формулы, теперь нужно подключиться программисту. Честно предупредила, что за задачу уже брались магистранты прошлых лет и даже преподаватели, но результата пока не получили. Не могу описать своего восторга, когда через две недели Иван показал первые рисунки с результатами игры Хаос на расширенной гиперболической плоскости! Свершилось!..
Язык гиперболической геометрии
Присоединившийся к нашему разговору Иван Ушаков сказал, что задачу решил относительно быстро, но потом все вечера упорно рисовал картинки, изучал, как работают библиотеки, подбирал языки программирования. Нужно было найти компромиссное решение, чтобы привести всё в порядок и к нужным параметрам. Вообще он очень самобытный молодой человек. Сначала был студентом факультета компьютерных наук и информационных технологий, но затем перешёл на мехмат из интереса к математике. Обычно делают наоборот. Но и здесь в поисках интересных для него задач стал активно менять кафедры и руководителей.
– Иван, насколько я поняла, игра Хаос на расширенной гиперболической плоскости проведена впервые с помощью подготовленного Вами программного комплекса?
– До нашей работы в этом направлении казанским геометром П.И. Трошиным были построены аналоги треугольника Серпинского на плоскости Лобачевского, в другой её модели и другими методами. Организацию игры Хаос на расширенной гиперболической плоскости, насколько мне известно, мы предлагаем первыми. Подготовленный программный комплекс pyv позволяет любому пользователю, даже не связанному с математикой, случайным образом выбирать вершины многоугольника на изображении расширенной гиперболической плоскости и проводить на этом многоугольнике игру Хаос.
– Как Вы думаете, будут ли когда-нибудь созданы приложения для изучения языка гиперболической геометрии?
– В каком-то смысле наша разработка помогает понять некоторые законы гиперболической геометрии, поэтому её можно отнести к таким приложениям. Скорее всего, будут появляться и другие.
– Людмила Николаевна, а какими Вы видите приложения самой геометрии гиперболической плоскости положительной кривизны и вашей IT-разработки?
– Мне очень часто задают этот вопрос. Приложения языка возможны, когда больше чем один человек является его носителем. Актуальность в этом направлении предполагает сформированный круг исследователей, «говорящих» на этом языке. Вот почему важно привлечь в эту область максимально большое число молодых людей. Я надеюсь, что красивая игра Хаос увлечёт их, и круг знающих гиперболическую геометрию значительно расширится. Тогда мы сможем говорить о новых серьёзных приложениях.
Сама игра Хаос на евклидовой плоскости применяется в самых неожиданных областях – к примеру, в генетике. Используя последовательность игры Хаос, удаётся характеризовать и классифицировать геномы ДНК. Вацлав Серпинский, наверное, был бы удивлён! С внедрением информационных технологий практически во всех сферах нашей жизни появилась такая задача, как распознавание объектов. В этой области тоже есть приложения. С помощью алгоритма игры Хаос, например, можно хранить отпечатки пальцев. Поэтому я надеюсь, что как только расширится круг заинтересованных языком гиперболической геометрии, сразу же появятся приложения.
Наша задача – математика и программиста – не только продолжить развитие языка гиперболической геометрии, но и расширить число специалистов, которые им овладеют. Геометрия Лобачевского сложнее евклидовой, а геометрия идеальной области пространства Лобачевского ещё сложнее. А значит, мы получаем инструмент для исследования и описания ещё более сложных процессов, причём не только физических.
– На каком этапе сейчас ваша разработка?
– Всё идет даже быстрее, чем мы предполагали. В прошлом году в Ярославле проводилась традиционная конференция по нелинейной динамике. Мы с Иваном опубликовали тезисы с анонсом первых результатов нашей работы. Первая статья с результатами классической игры Хаос на треугольниках расширенной гиперболической плоскости была напечатана в этом году в журнале «Теоретическая и математическая физика», в июне уже вышел её перевод на английский язык в издательстве Springer Nature. И вот недавно из Казани пришёл электронный сборник «Информационные технологии в образовании и науке» с нашей статьёй.
Но это только начало исследований таких объектов. Сейчас мы готовы представить результаты игры Хаос с произвольным скачком на многоугольниках в той же плоскости. Это та же игра Хаос, но только точка «прыгает» не в середину случайно выбранного отрезка, а в точку, делящую этот отрезок в заранее заданном отношении, одном и том же для каждого «прыжка». Картинки появляются очень интересные, необычные. Иван уже посмотрел разные варианты стратегий игры. Скажем, можно запретить точке второй раз прыгать к одной и той же вершине или пропускать соседнюю вершину. На евклидовой плоскости известны такие стратегии. Нам интересно посмотреть, что будет в гиперболической геометрии.
– Как Вы считаете, будет ли эта разработка интересна студентам?
– Раз это интересно Ивану, наверняка, увлечёт и многих других студентов. Кроме того, что мы получаем красивые картинки и знакомим широкий круг исследователей с новым для них гиперболическим миром, появляется возможность быстрой проверки различных «гиперболических» гипотез. Это, безусловно, поможет в исследованиях.
Игрой Хаос в евклидовом пространстве, кстати, и школьники увлекаются, это красиво и красочно. Поскольку я по образованию учитель, то и на нашу разработку смотрю как на обучающую. Любая игра формирует представление о правилах. Когда ребёнок начинает играть, он познаёт окружающий мир и законы общения в социуме. Мы тоже предлагаем игру как способ показать не только узкому кругу учёных, но и большому кругу студентов и школьников, что помимо евклидовой есть и другие геометрии, и они не менее интересны. Посредством этой игры мы хотим сделать язык гиперболической геометрии доступным для большого числа людей. Хочется пожелать будущим пользователям нашей IT-разработки: играйте с удовольствием, удивляйтесь и восхищайтесь красотой гиперболического мира!
Тамара Корнева, фото Екатерины Селиверовой
