Доцент кафедры математической физики и вычислительной математики Саратовского университета Сергей Бутерин совместно с молодым боснийским коллегой из Университета Баня-Луки Небойшей Джуричем получили отрицательный ответ на долгое время остававшийся открытым вопрос о существовании единственного решения обратной задачи типа Штурма-Лиувилля с постоянным запаздыванием, величина которого меньше двух пятых длины интервала. Поскольку многие процессы реального мира имеют нелокальный характер, операторы с запаздыванием, как и другие типы нелокальных операторов, находят множество приложений в естественных науках и технике. Построенный контрпример оказался крайне неожиданным, поскольку идёт вразрез с результатами для классической обратной задачи Штурма-Лиувилля.

Исследование опубликовано в журнале «Applied Mathematics Letters», являющемся одним из высокорейтинговых математических журналов SCI с импакт-фактором близким к 4. За несколько дней с момента публикации онлайн-работа успела набрать рекордно высокий рейтинг Altmetric.

Кроме того, на популярном научном портале «Research Gate» препринт данной статьи быстро превысил тысячу просмотров. Наибольший интерес материал вызвал у пользователей из США (более 100 обращений), Боснии и Герцеговины, Великобритании, Германии и Канады.

Вопрос о разрешимости обратной задачи при малом запаздывании фактически стал основным в теории обратных задач для операторов с постоянным запаздыванием. Ещё в 80-х годах прошлого века данный тип задач был предложен нынешнем ректором МГУ академиком В.А. Садовничим его югославскому коллеге Миленко Пикуле, проходившему стажировку в Москве. С тех пор на территории бывшей Югославии образовалась целая научная школа по обратным задачам для операторов с запаздыванием. Предыдущим значительным достижением в этом направлении стала опубликованная в 2018 году в том же журнале совместная работа заведующего кафедрой математический физики и вычислительной математики СГУ профессора В.А. Юрко и доцента Самарского университета Н.П. Бондаренко. В их статье была установлена единственность решения при величине запаздывания, не меньшей двух пятых длины интервала. Аналогичный результат в случае других краевых условий был независимо получен боснийскими математиками Миленко Пикулой, Владимиром Владитичем и Биляной Войводич. О важности данных исследований косвенно говорит тот факт, что в 2017–2019 годах Минобрнауки России выделило многомиллионный грант на реализацию проекта «Разработка методов и алгоритмов решения обратных задач спектрального анализа для дифференциальных операторов с отклоняющимся аргументом», посвящённого исследованию таких задач, под руководством профессора В.А. Юрко.

Знакомство Сергея Бутерина и Небойши Джурича состоялось в 2016 году в Сараево. С тех пор учёные многократно обсуждали задачу при встрече на различных математических конференциях. Несмотря на сложность вопроса, им удалось найти короткое доказательство, уместившееся на нескольких страницах. В течение ближайших полутора месяцев с работой, получившей название «On an open question in recovering Sturm–Liouville-type operators with delay», можно бесплатно ознакомиться по ссылке.