Хромов

Август

Петрович

Хромов Август Петрович –  доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой  дифференциальных уравнений  и  прикладной математики со дня ее основания в 1976 году. Вся его научная, педагогическая и общественная деятельность неразрывно связана с механико-математическим факультетом Саратовского государственного университета, куда он пришел учиться в 1953 году. В настоящее время А.П. Хромов – Заслуженный деятель науки Российской Федерации, почетный профессор СГУ, имеет награду Медаль ордена "За заслуги перед отечеством" II степени. Его имя внесено в энциклопедию Саратовского края. Более 15 лет А.П. Хромов был председателем специализированного совета по защите кандидатских и докторских диссертаций при СГУ. Он автор более 300 публикаций, в том числе 2 монографий.

       Имя А.П. Хромова широко известно как среди ученых нашей страны, так и за рубежом. Основные его научные интересы и достижения относятся  к спектральной  теории операторов,  одному из самых давних направлений Саратовского университета.

       В исследованиях А.П. Хромова спектральная теория несамосопряженных дифференциальных и интегральных операторов получила глубокое развитие, он стал известным специалистом в этой области и постепенно, начиная с 70-х годов, когда он защитил докторскую диссертацию (1973 г.), создал свою научную школу по этой теории. Эта школа признана одной из ведущих российских научных школ. Свидетельством этому стало присуждение  А.П. Хромову грантов Президента Российской Федерации на поддержку ведущих научных школ в 2000, 2003, 2008 и 2010 гг. Его учениками защищено 29 кандидатских и 4 докторских диссертации.

       Велик вклад А.П. Хромова в дело организации математической жизни в Саратове. С 1994 года он является заместителем председателя Оргкомитета Саратовских зимних школ по теории функций, собирающих каждые 2 года в Саратове математиков всех уровней, от академиков до аспирантов и студентов со всей России и ближнего зарубежья и являющихся настоящей кузницей отечественных математических кадров. Эти школы совместно с СГУ проводят Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова и Математический институт им. В. А. Стеклова РАН.

      На факультете А.П. Хромов ведет два научных семинара: по спектральному анализу и объединенный семинар по специальности «Математический анализ». Для учеников и сотрудников он прочел факультативный курс  по спектральной теории, насчитывающий 100 лекций. Его работы, лекции, выступления отличаются глубиной, ясностью и четкостью. Вот, например, как охарактеризовал монографию А.П. Хромова «Конечномерные возмущения вольтерровых операторов» (2004 г.) немецкий математик В. Эберхард: «Ваши результаты накрывают наши исследования в теории дифференциальных операторов. Поздравляю Вас с полнотой и элегантностью изложения». Кстати, именно научные связи А.П. Хромова и В. Эберхарда положили начало научному сотрудничеству между математиками Саратовского и Дуйсбургского (Германия) университетами.

      Исследования  А.П.Хромова по спектральной теории дифференциальных операторов являются развитием фундаментальных работ Дж.Биркгофа, Я.Д.Тамаркина, М.Стоуна, Н.Гопкинса, Д.Джексона, М.В.Келдыша. Им впервые  для слабо нерегулярных по  Биркгофу краевых  условий, т.е., когда для резольвенты допускается любой степенной рост по спектральным параметрам, найдены точные зависимости степени  гладкости  разлагаемой  по собственным и присоединенным функциям (с.п.ф.) функции от степени роста резольвенты. Большое внимание уделено А.П.Хромовым дифференциальным операторам с нерегулярными распадающимися краевыми  условиями. Резольвента  в  этом случае имеет экспоненциальный рост, и, начиная с исследований  Д.Джексона (1916) и Н.Гопкинса (1919), этим операторам посвящено  много работ, но  они  касались  лишь частных случаев операторов. А.П.Хромов полностью описал классы разлагаемых функций (это операторно-аналитические функции Фаге)  и дал окончательное решение вопроса о сходимости разложений  по  с.п.ф. в самом общем случае.  Если краевые условия нераспадающиеся, а резольвента имеет экспоненциальный рост, то им полностью решена задача о разложении по с.п.ф. оператора n-кратного дифференцирования.  Показана большая роль впервые обнаруженных специальных дифференциально-разностных уравнений, которым удовлетворяет разлагаемая функция.

       А.П.Хромов  впервые  подошел  к  задаче представления аналитических  функций рядами экспонент  как к задаче разложения по собственным функциям  оператора  дифференцирования  с краевыми условиями, порождаемыми различными линейными функционалами  в  аналитических пространствах. На этом  пути  была выяснена природа известной   интерполирующей  функции А.Ф.Леонтьева, и данный подход позволил распространить понятие  интерполирующей функции на более сложные образования, порождаемые дифференциальными,  интегро-дифференциальными  и  интегральными   операторами,  проводить построение  многих биортогональных систем, аналогично хорошо  известному подходу  М.М.Джрбашяна и  А.В.Нерсесяна. На этом пути  была решена  важная  задача  о представлении рядами экспонент  произвольных  функций, аналитических  в  какой-либо внутренней подобласти для сопряженной диаграммы характеристической  функции.

       Большое  число  конкретных операторов может быть сведено к операторам, представимым в виде суммы вольтерровых и конечномерных.  А.П.Хромовым было впервые проведено исследование таких операторов, абстрактно заданных  в банаховом  пространстве. Результаты о разложении по с.п.ф. получаются  за счет естественных требований на  бесконечности  для отдельных компонент резольвенты. В  качестве  конкретных  операторов  им подробно исследуются интегральные операторы с полувырожденными ядрами, и исследование резольвенты в этом случае осуществляется благодаря фундаментальному результату А.П. Хромова  об асимптотическом поведении резольвенты интегрального вольтеррова оператора. Эта асимптотика  позволяет исследовать достаточно полно и вопрос о полноте с.п.ф. Оказывается, что последний сводится к вопросу о порождающих функциях вольтерровых операторов. Для порождающих функций А.П.Хромовым получены глубокие результаты  типа  теоремы Мюнца, что и позволило дать решение трудного вопроса о полноте с.п.ф.  Интегральные операторы рассматриваемого вида в настоящее  время  являются единственным хорошо исследованным классом интегральных  операторов с экспоненциально растущей резольвентой.

       А.П. Хромовым  сделан  значительный   вклад  в  исследование   равносходимости  разложений  по с.п.ф.  и  в тригонометрические ряды Фурье, открытой

впервые В.А.Стекловым и А.Хааром. Для случая дифференциальных операторов на конечном интервале он описал классы  нерегулярных краевых условий, для которых равносходимость имеет место на некоторых  интервалах, и указал точную зависимость этих интервалов от степени нерегулярности. Далее, А.П.Хромов впервые поставил вопрос о равносходимости для интегральных  операторов, получил  принципиально важный факт о каноническом виде  таких операторов и для них дал в неулучшаемых формулировках теоремы равносходимости.

       В 1998 г. А.П. Хромовым введен в рассмотрение новый класс интегральных операторов – интегральных операторов с инволюцией разных типов. Он показал, что обращение таких операторов и нахождение резольвенты приводит к краевым задачам для систем Дирака и подобным им. Как обобщение указанных операторов им рассмотрены интегральные операторы, ядра которых или их производные терпят разрывы на ломаных. А.П.Хромов показал, что всевозможные системы дифференциальных операторов как скалярных, так и в пространствах вектор-функций различной размерности с самыми разнообразными краевыми условиями сводятся к рассмотрению интегральных операторов такого вида. Для указанных операторов разработан перспективный метод исследования асимптотического поведения резольвенты. На базе этого метода Хромовым А.П. и его учениками получены теоремы равносходимости рядов по с.п.ф. с рядами по тригонометрической системе, теоремы о базисности и суммируемости по Риссу, а также аналоги известных в теории тригонометрических рядов достаточных условий сходимости для разложений по с.п.ф. Кроме того, получены глубокие результаты для системы Дирака в трудном случае недифференцируемого потенциала. Данные исследования являются пионерскими в теории интегральных операторов и аналогов не имеют.

       Начиная с 1984 года, в круг интересов А.П.Хромова стали входить также задачи оптимального управления. Он нашел новый  вид вариаций  испытуемых  на  оптимальность  траекторий, когда независимыми параметрами являются «углы»  наклона траектории  при выходе  на границу.  Теперь испытуемая траектория становится для  таких параметров внутренней точкой, что облегчает получение основных соотношений  принципа максимума Понтрягина. Сформулирован новый взгляд на задачу  синтеза как на задачу построения оптимального управления в виде функции  текущего состояния так, чтобы любое решение замкнутой системы давало оптимальную траекторию заданного семейства оптимальных траекторий.  Для линейной  управляемой системы с квадратичным критерием качества без ограничений полностью описан класс синтезирующих функций, удовлетворяющих произвольным аффинным граничным  условиям.

       С 2010 г. А.П. Хромов обратился к истокам возникновения спектральной теории дифференциальных операторов – к методу Фурье разделения переменных в задачах математической физики. Начиная с работ В.А. Стеклова обоснование метода Фурье традиционно опирается на доказательство равномерной сходимости ряда, представляющего формальное решение задачи,  и рядов, получающихся из него почленным дифференцированием необходимое число раз. При таком подходе исследователю приходится вводить завышенные требования гладкости на начальные данные. Используя идеи академика А.Н. Крылова по ускорению сходимости рядов Фурье А.П. Хромов предложил новый подход к обоснованию метода Фурье, базирующийся на контурном интегрировании резольвенты оператора, порожденного соответсвующей спектральной задачей и реализовал его на смешанной задаче для волнового уравнения. Это качественно новый шаг в теории метода Фурье, позволяющий с исчерпывающей полнотой исследовать краевые задачи, получать их решения методом Фурье при минимальных требованиях на исходные данные и открывающий новое направление в обосновании метода Фурье.