Метод обратной задачи рассеяния (ОЗР). Преобразование Миуры–Гарднера и законы сохранения уравнения КдВ. О методе обратной задачи рассеяния для уравнения КдВ. Задача на собственные значения для уравнения Шредингера. Дискретный и непрерывный спектр собственных значений. Обратная задача: уравнение Гельфанда–Левитана–Марченко. Случай чисто дискретного спектра: многосолитонные решения. Картина взаимодействия двух солитонов. Понятие о полной интегрируемости нелинейных уравнений в частных производных. Дальнейшее развитие метода ОЗР. ОЗР в формулировке Лакса. Иерархия интегрируемых уравнений. Задачи рассеяния Захарова–Шабата и Абловица–Каупа–Ньюэлла–Сигура.
Метод Хироты. Применение метода Хироты для нахождения многосолитонных решений нелинейных интегрируемых уравнений в частных производных. Примеры: Уравнение КдВ. Модифицированное уравнение КдВ. Бризеры. Уравнение Sin-Гордона. Нелинейное уравнение Шрёдингера.
Преобразования Бэклунда. Преобразования Бэклунда для уравнения Sin-Гордона. Преобразования Бэклунда для уравнения КдВ. Преобразование Коула–Хопфа для уравнения Бюргерса.
Свойство Пенлеве. Классификация особых точек функций комплексной переменной. Неподвижные и подвижные особые точки. Задача Ковалевской о волчке. Свойство Пенлеве и его применение для поиска интегралов систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Примеры: система Хенона–Хейлеса, система Лоренца. Свойство Пенлеве для уравнений в частных производных. Метод Вайса–Табора–Карнивейля. Примеры: уравнение Бюргерса, уравнение КдВ.
Элементы группового анализа дифференциальных уравнений. Однопараметрическая группа преобразований Ли. Уравнения Ли. Инфинитезимальный оператор группы преобразований. Инварианты. Групповой анализ ОДУ. Интегрирование ОДУ, допускающих группы преобразований. Групповой анализ уравнений в частных производных. Группа преобразований линейного уравнения теплопроводности. Группы преобразований различных нелинейных уравнений: нелинейного уравнения теплопроводности, уравнения Бюргерса, уравнений КдВ и Sin-Гордона. Автомодельные решения.
