Ч. II. Нелинейные волны
Автор - д.ф.-м.н., проф. Рыскин Н.М.Раздел 1. Введение. Основные принципы распространения нелинейных волн.
Об эвристическом подходе к нелинейным волновым уравнениям. Эталонные уравнения теории нелинейных волн. Нелинейные волны в среде без дисперсии. Уравнение простой волны. Укручение и опрокидывание волн. Среда с диссипацией: уравнение Бюргерса. Ударные волны. Среда с высокочастотной дисперсией: уравнение Кортевега–де Вриза (КдВ). Уединенные волны и солитоны. Обобщения на неодномерный случай: уравнения Хохлова–Заболотской и Кадомцева–Петвиашвили. Среда с дисперсией в области низких частот: нелинейное уравнение Клейна–Гордона. Среда с дисперсией и диссипацией: уравнение КдВ–Бюргерса. Распространение огибающей волнового пакета: нелинейное уравнение Шредингера. Солитоны огибающей. Нелинейные волны в средах с неустойчивостью. Уравнение Гинзбурга–Ландау.
Раздел 2. Нелинейные волны в средах без дисперсии.
Уравнение простой волны. Решение методом характеристик. Переменные Эйлера и переменные Лагранжа. Поток невзаимодействующих частиц. О группировке электронов в пролетном клистроне. Решение Римана. Графический анализ опрокидывания профиля волны. Распространение гармонического сигнала. Спектр опрокидывающейся волны: решение Бесселя–Фубини.
Образование разрывов в простой волне. Определение координаты разрыва. Граничное условие на разрыве. Слабые разрывы. Центрированная волна разрежения. Динамика амплитуды разрыва. Пилообразная волна и ее спектр. Распространение треугольного импульса. Распространение биполярного импульса: N-волна. Волны от движущегося источника. Взаимодействие разрывов.
Простые волны в примерах. Общий случай системы гиперболических уравнений. Критерий гиперболичности. Примеры гиперболических систем. Простые волны в газовой динамике. Инварианты Римана. Волны на поверхности «мелкой воды». Задача о разрушении плотины. Ионный звук в плазме. Волны в автомобильном потоке. Граничные условия на разрыве в общем случае и их связь с законами сохранения. Законы сохранения уравнений «мелкой воды». Диссипация энергии на разрыве.
Уравнение Бюргерса. Метод точного решения уравнения Бюргерса: преобразование Коула–Хопфа. Предельный переход к уравнению простой волны. Решение в виде стационарной ударной волны. Распространение периодического сигнала: решение Хохлова и его спектр (решение Фэя). Распространение импульсов: одиночный горб, N-волна. Слияние ударных волн. Автомодельные решения.
Примеры ударных волн. Ударные волны. Задача о сильном точечном взрыве в атмосфере и ее решение при помощи метода размерностей. Примеры ударных волн естественного происхождения: гром, землетрясения, извержения вулканов, падение метеоритов. Ударные волны, искусственно создаваемые на земле. Об ударных волнах в космосе: ударные волны в магнитосфере Земли, вспышки на Солнце, взрывы сверхновых.
Раздел 3. Нелинейные волны в диспергирующих средах.
История открытия солитона. Дж. Скотт Рассел и открытие солитона. Проблема Ферми–Пасты–Улама (ФПУ). Ее связь с уравнениями Буссинеска и Кортевега–де Вриза. Возвращаемость ФПУ. Работа Забуски и Крускала и взаимодействие солитонов.
Стационарные нелинейные волны. Уравнение КдВ: кноидальные волны и солитоны. Модифицированное уравнение КдВ. Уравнение Буссинеска. Стационарные ударные волны в среде с диссипацией и дисперсией: уравнение КдВ–Бюргерса. Уравнение Sin–Гордона: стационарные решения и физические примеры. Стационарные ионно-акустические и ленгмюровские волны в плазме. Уединенные волны в электронном потоке. Электромагнитные волны в нелинейной диэлектрической среде.
Уравнение Кортевега–де Вриза в конкретных физических задачах. Метод медленно меняющегося профиля. Конкретные примеры: ионно-акустические волны в плазме, гравитационные волны на поверхности мелкой воды, ленгмюровские волны в тонком плазменном цилиндре. Электромагнитные волны в нелинейных линиях передачи. Газовая динамика и уравнение Бюргерса.
Модулированные волны в нелинейных средах. Теория Уизема. Нелинейное дисперсионное соотношение, законы сохранения волнового числа и волнового действия. Критерий Лайтхилла. Модуляционная неустойчивость (неустойчивость Бенджамена–Фейра). Нелинейное уравнение Шредингера (НУШ). Метод многих масштабов. Неустойчивость пространственно-однородного решения. Решение в виде солитона огибающей. «Светлые» и «темные» солитоны. Электромагнитные волны в нелинейном диэлектрике. Солитоны в волоконных световодах. Самофокусировка света.
Трехволновые параметрические взаимодействия в квадратично-нелинейной среде. Уравнения трехволнового взаимодействия. Распадная (параметрическая) неустойчивость. Взрывная неустойчивость. Оптические параметрические усилители и генераторы. Вынужденное рассеяние электромагнитной волны на релятивистском электронном пучке, лазер на свободных электронах.
