1. Введение в нелинейную динамику
1.1. Основные понятия теории катастроф. Типичность, случай общего положения, вырожденный случай, коразмерность. Экстремумы функций одной и двух переменных, условие их вырождения. Построение многопараметрических моделей. Лемма Морса, лемма расщепления, теорема Тома. Каспоидные и омбилические катастрофы.
1.2. Основные понятия теории динамических систем и теории бифуркаций. Динамическая система. Дискретная система. Мультипликатор. Основные бифуркации. Модельное отображение с треугольником устойчивости.
1.3. Динамический хаос. Неустойчивость. Сценарии перехода к хаосу. Ренормгрупповой анализ.
2. Гиперболический хаос
2.1. Примеры геометрических конструкций — инвариантных множеств гиперболического типа: аттрактор Смейла–Вильямса, DA аттрактор (“Derived-from-Anosov”), аттракторы типа Плыкина.
2.2. Определение, характеристики и проявления хаоса гиперболического типа: устройство многообразий, мера Синая–Рюэля–Боуэна, метрическая энтропия, распределение инвариантной меры, марковские разбиения и символическая динамика, структурная устойчивость, воздействие шума и затенение, проявления грубости, Аксиома A, спектральное разложение, скелет аттрактора и разложение по циклам, критерий конусов.
2.3. Физический пример системы с гиперболическим аттрактором — генератор С.П. Кузнецова.
2.4. Некоторые известные сценарии рождения/разрушения соленоида Смейла–Вильямса: катастрофа «голубого неба», седло-узловой кризис, при разрушении тора, рождение из развитого хаоса.
2.5. Аттрактор Смейла–Вильямса в радиофизическом эксперименте.
2.6. Приложения гиперболического хаоса. Кодирование информации. Грубые широкополосные шумотроны. Шумовая радиолокация. Радиопротиводействие. Равномерный электромагнитный нагрев. Грубая синхронизация грубых систем. Грубая широкополосная хаотическая коммуникация.
3. Ляпуновский анализ
3.1. Линейный анализ устойчивости траекторий на аттракторе.
3.2. Локальные ляпуновские показатели, их применение для анализа гиперболических хаотических и странных нехаотических аттракторов.
3.3. Условный и трансверсальный показатели при анализе синхронизации.
3.4. Ковариантные ляпуновские вектора.
3.5. Критерий углов для анализа гиперболических и почти гиперболических аттракторов. Численные алгоритмы расчета углов между устойчивым и неустойчивым многообразиями, растягивающим и сжимающим подпространствами.
3.6. Расчет спектра показателей Ляпунова по временным рядам. Восстановление аттрактора и фазового пространства по скалярному временному ряду. Адаптация метода Бенеттина. Алгоритм Вольфа. Алгоритм Сано–Савады. Метод выявления паразитных показателей.
4. Физическая реализация абстрактных математических модельных дискретных систем со сложной динамикой
4.1. Радиофизическая система с двумя ячейками выборки-хранения, моделирующая динамику логистического отображения.
4.2. Гиперболический хаос, ассоциирующийся с фазовой динамикой. Генератор С.П. Кузнецова, состоящий из связанных осцилляторов с поочередным возбуждением.
4.3. Гиперболический хаос, ассоциирующийся с амплитудной динамикой.
4.4. Странный нехаотический аттрактор и фазовая динамика в системе связанных осцилляторов Ван дер Поля с поочередным возбуждением.
4.5. Комплексная аналитическая динамика и манипулирование медленными комплексными амплитудами в системе связанных осцилляторов с поочередным возбуждением.
4.6. Манипулирование фазами и амплитудами в кольцевой стадийной системе.
4.7. Манипулирование фазами в системах с запаздывающей обратной связью.
4.8. Манипулирование пространственными фазами в распределенных системах на примере обобщенного уравнения струны.
5. Синхронизация (избранные вопросы)
5.1. Введение: основные понятия и определения.
Исторический обзор. Что такое синхронизация? Понятие автоколебательной системы. Свойства автоколебательной системы. Основные характеристики автоколебательной системы: амплитуда, частота и период. Примеры автоколебательных систем. Релаксационные автоколебательные системы.
Понятие захвата частоты. Понятие частотной расстройки. Типы синхронизации: вынужденная синхронизация, взаимная синхронизация, хаотическая синхронизация и т.д.
5.2. Вынужденная синхронизация автоколебательных систем.
Осциллятор Ван дер Поля с гармоническим внешним воздействием. Случай малых значений амплитуды внешней силы. Уравнения для амплитуды и фазы (уравнения Адлера). Отображение окружности. Область синхронизации на плоскости амплитуда внешней силы – расстройка частот. Изохронный и неизохронный случаи. Обобщение на случаи средних и больших значений амплитуды внешней силы.
Особенности вынужденной синхронизации релаксационных колебаний. Сброс внешним импульсом. Вариация порога. Изменений собственной частоты. Особенности синхронизации ротаторов и контактов Джозефсона.
Синхронизация автоколебательной системы периодической последовательностью δ-функций. Модельная система в виде предельного цикла в виде окружности под импульсным воздействием. Осциллятор Ван дер Поля под воздействием периодической последовательности δ-функций. Уравнения для амплитуды и фазы. Отображение Гласа.
5.3. Взаимная синхронизация двух автоколебательных систем.
Синхронизация двух связанных осцилляторов Ван дер Поля – Дуффинга. Типы связи: инерционная, диссипативная и активная связь. Уравнения для амплитуд и разности фаз в случае диссипативной связи. Область синхронизации на плоскости параметр связи – параметр частотной расстройки. Синфазная и противофазная синхронизации. Эффект «гибели колебаний». Обобщение на случай инерционной и активной связи.
Взаимная синхронизация двух релаксационных осцилляторов. Синхронизация через обмен импульсами.
Обобщение понятия взаимной синхронизации на случай нескольких связанных осцилляторов. Синхронизация в одномерной цепочке осцилляторов. Система уравнений для фазовой динамики. Образование кластеров. Глобально связанные осцилляторы. Синхронизация в осциллирующей среде. Переход Курамото. Среднее поле. Обобщение на случай двумерных и трехмерных структур.
5.4. Синхронизация в присутствии шума.
Синхронизация периодических колебаний внешней силой в присутствии шума. Взаимная синхронизация в присутствии шума. Описание с помощью уравнения Ланжевена. Диффузия фазы автоколебательной системы. Проскоки фазы. Особенности синхронизации в зависимости от интенсивности шума.
5.5. Синхронизация хаотических систем.
Обобщение основных характеристик автоколебательной системы (амплитуда, период, фаза) на случай хаотических колебаний. Классический подход к синхронизации хаотических систем. Фазовая, полная и обобщенная синхронизация.
