1. Введение. Фракталы как математические и геометрические объекты
Первое представление о фракталах. Фрактальные объекты в природе. Длина береговой линии. Нетривиальное поведение линий уровня. Деревья, горы, облака. Кристаллы и поверхности материалов. Определение фрактала. Работы Мандельброта («Фрактальная геометрия природы»). Иерархическая организация как основное свойство фракталов. Масштабная инвариантность, свойства подобия, степенные законы. Фрактальные размерности. Хаусдорфова размерность.
Простейшие самоподобные фракталы. Снежинка Коха, ковер Серпинского и т.д. Генераторы фракталов. Фракталы в виде точек, линий, кусков поверхности и объема. Фрактальные кривые, покрывающие плоскость. Кривые Пеано, Гильберта, драконы Хартера (построение дракона с помощью сложенного листа бумаги). Фракталы с недробной размерностью. Размерность кривой Коха (дробная) и кривой Гильберта (целая, но больше топологической).
Фрактальные функции. Фрактальные кривые Вейерштрасса — непрерывные, но не дифференцируемые ни в одной своей точке. Задача о массе «канторова стержня» и функция «чертова лестница».
Деревья и графы. Деревья Кейли и решетка Бете. Компьютерная демонстрация пифагоровых деревьев. Дерево Фарея. Представление рациональных и иррациональных чисел с помощью дерева Фарея. Суммирование дробей по Фарею («правило двоечника») и построение дерева. Бинарные коды. Алгоритм вычисления кода по заданному числу и числа по заданному коду. Связь между представлением Фарея и цепными дробями. «Кролики Фибоначчи».
2. Системы итерируемых функций и «черепашьи» алгоритмы как генераторы фракталов
Итерации линейных систем. Конструирование системы отображений, задающих салфетку Серпинского (введение комплексной переменной на плоскости и определение трех отображений, задающих вершины равностороннего треугольника). Салфетка Серпинского как аттрактор системы линейных отображений (Чтобы воспроизвести весь фрактал нужно знать вид отображений и стартовать из любой, одной-единственной точки). Приложения: кодирование изображений и фрактальная аппроксимация.
Метод случайных итераций или игра в хаос. Правила игры на треугольнике. Связь с системой итерируемых функций. Игра на квадрате и шестиугольнике. Игры с поворотами – кривая Коха, драконы.
Сжимающие аффинные преобразования. Сжимающие аффинные преобразования на плоскости — общий случай. Фрактал «папоротник» как аттрактор сжимающего преобразования со случайными итерациями. Аналогия между аттракторами для игры в хаос и репеллерами необратимых динамических систем — отображений.
Черепашьи алгоритмы для кодирования сложных, фрактальных изображений.
3. Клеточные автоматы и игра «Жизнь»
Правила существования клеточных автоматов. Простейший клеточный автомат и треугольник Паскаля. Игра «Жизнь» как наиболее популярный из представителей. Возможности динамики игры: гибель всей популяции в игре, стабильное сосуществование нескольких особей, периодическая динамика, распространение «жизни» на всем пространстве, фрактальные структуры на плоскости. Применение игры для моделирования гидродинамических задач.
4. Ограниченная диффузией агрегация и управляемый градиентом рост
Модель управляемого градиентом роста. Уравнение Навье–Стокса. Фрактальная трансформация границы раздела двух сред с разной вязкостью. Массовая фрактальная размерность. Градиент поля скорости роста кластера.
Описание модели ограниченной диффузией агрегации. Образование фрактальных кластеров и их характерная структура в случае точечного и линейного затравочного элемента. Введение понятия диффузионного поля (вероятности прилипания к различным областям агрегата).
5. Фрактальные модели для описания статистических процессов. Броуновское движение
Броуновское движение и фрактальная модель статистического описания случайных блужданий на прямой. Свойства подобия одномерных случайных блужданий, заключающееся в инвариантности нормально распределенной плотности вероятности случайной величины, отвечающей за координату Броуновской частицы, при перенормировке пространственного характерного масштаба и одновременной соответствующей перенормировке временного масштаба. Обобщенное броуновское движение. Фрактальная размерность броуновского следа. Фрактальные свойства броуновского следа в многомерном пространстве.
6. Фрактальные сигналы, шумы и их спектры
Пример фрактального сигнала — вечно восходящие звуки Шеппарда. Пример шумового сигнала — проекция на прямую броуновского следа, приращения броуновской координаты. Понятие марковских процессов и автокоррелированных шумовых сигналов. Спектр Фурье как инструмент анализа сложных сигналов — фрактальных и шумовых. Вывод уравнения Винера–Хинчина и взаимосвязь между спектральной плотностью мощности и автокорреляционной функцией. Типы «цветных» шумов – белый шум с зависимостью распределения спектральной плотности мощьности от частоты S~1/f0=const, фликкер-шум с S~1/f, шум с характеристиками броуновского следа (интеграл от белого шума) с S~1/f2, обобщенный шум с S~1/fa. Понятие дробного интегро-дифференцирования. Показатель Херста, как еще один удобный инструмент анализа сложных экспериментальных временных реализаций и определения их статистических свойств. Величина показателя для разных «цветных» шумов. Понятие о персистентных и неперсистентных процессах.
7. Теория перенормировок. Перколяция
Теория протекания. Формирование фракталов на плоскости. Модели узлов и связей. Кластеры. Понятие порога протекания. Зависимость вероятности протекания всей решетки от вероятности протекания ее узлов (связей). Бесконечный кластер. Характерный размер кластера. Задачи теории протекания на решетке Бете. Процессы, для описания которых пригодна модель перколяции — лесные пожары, распространение эпидемий, ветер, протекание пористой среды, решетки связанных импедансов, переход проводник-диэлектрик и др.
8. Перенормировки и фазовые переходы
Теория перенормировок и теория фазовых переходов. Магнитное и немагнитное состояния вещества. Точка Кюри. Когерентные и некогерентные фазы. Самоподобие и фрактальность структуры сосуществования когерентных и хаотических фаз вблизи критической точки фазового перехода. Демонстрация на квадратной решетке. Представление о методе перенормировок Каданова. Математическая основа теории Вильсона. Перенормировка корреляции марковского процесса при пересчете масштаба. Введение температуры. Модель решеток Изинга и Поттса и их преобразования перенормировок.
9. Фрактальные объекты в нелинейной динамике
Бифуркационное дерево, критический аттрактор Фейгенбаума (канторово множество), «чертова лестница» в теории синхронизации и др. Фракталы и самоподобие в пространстве параметров и в фазовом пространстве. Фрактальные аттракторы (странные хаотические и нехатические инвариантные множества) и репеллеры (границы бассейнов притяжения). Бифуркации возникновения фрактальных структур в фазовом пространстве. Гомоклинические структуры. Фрактальные границы бассейнов притяжения. Механизмы фрактализации по Мира.
10. Комплексные отображения и ассоциирующиеся с ними фрактальные объекты. Множество Мандельброта и множества Жюлиа
Основные понятия теории функций комплексного переменного. Дифференцируемые функции комплексного переменного. Условия Коши–Римана. Уравнение Лапласа. Одномерные комплексные аналитические отображения как специальный класс динамических систем. Их связь с двумерными действительными отображениями.
Множество Мандельброта и множества Фату и Жюлиа как феномены КАД.
Множество Жюлиа как граница между бассейном притяжения и областью «убегания» на бесконечность квадратичного комплексного отображения. Большинство множеств Жюлиа – фракталы. Понятие времени убегания на бесконечность. Множество Фату. Внешние и внутренние углы, локальная связность и применение множества Фату для описания множества Жюлиа. Оценка размера множества Жюлиа. Связные и несвязные множества Жюлиа. Критерий связности (динамика экстремума отображения). Множество Мандельброта и его фрактальная структура. Обобщения множеств Мандельброта и Жюлиа на случай других систем (полиномиальных, рациональных, трансцендентных, неявных отображений, систем итерационных функций).
Бифуркационный анализ множества Мандельброта. «Кактус» Мандельброта. Аналогия с бифуркационным деревом. Иные, отличные от удвоений последовательности усложнения периода. Параметризация комплексного мультипликатора на кардиоиде. Универсальные константы скейлинга и оценка их величины. Граница множества Мандельброта, ее несамоподобный характер. Наполненные и дендритоподобные множества Жюлиа. Сходство множества Мандельброта и множества Жюлиа в точках Мизюревича. Множество Мандельброта и число π.
Классификация множеств Жюлиа. Гиперболическая и параболическая динамика. Параболический случай с рациональным числом вращения (цветок Ло-Фату) и с иррациональным числом вращения (диски Зигеля). Уравнение Шредера и проблема линеаризуемости (проблема «центра»). Точки Зигеля и Кремера. Эквивалентность динамики комплексного отображения на фазовой плоскости в окрестности иррациональной нейтральной неподвижной точки и динамики отображения кольца. Основные теоремы о линеаризуемости: теорема Иоккоза и теорема Брюно. Типы иррациональных чисел (диофантовы числа, числа ограниченного типа, квадратичные иррациональности). Представление иррациональных чисел в виде цепных дробей и посредством дерева Фарея. Диофантовы числа (линеаризация возможна) и числа Лиувилля (нелинеаризуемый случай — «монстр Лиувилля», свойство «малых циклов»). Кольцо Арнольда–Эрмана для рациональных комплексных отображений порядка больше 2.
Основные свойства и методы построения множеств Жюлиа. Существование трех типов нефрактальных множеств Жюлиа. Эквивалентность в прямом и обратном времени. Воспроизводимость по сколь угодно малой части. Хаотическая, эргодическая динамика на множестве. Построение путем обратного итерирования и путем нахождения неустойчивых циклов. Несколько интересных примеров множеств.
11. Уникальные свойства объектов КАД
Потенциал множества Жюлиа и множества Мандельброта. Отображение множества Жюлиа на окружность. Теорема Римана о конформных отображениях. Потенциал окружности. Итерационная формула для расчета электростатического потенциала цилиндрического заряженного проводника, сечением которого является множество Жюлиа.
Хаусдорфова размерность фрактальных объектов, возникающих в КАД. Хаусдорфова размерность границы множества Мандельброта и “кактуса” Мандельброта. Хаусдорфова размерность множеств Жюлиа для различных значений параметра (перечисление основных известных результатов). Выведение зависимости от параметра размерности множеств Жюлиа, топологически эквивалентных окружности. Скорость убегания на бесконечность. Численные значения фрактальной размерности. Оценка размерности границы диска Зигеля.
Аналитические и неаналитические отображения. Комплексные аналитические отображения как специальный класс двумерных систем. Модельные комплексные отображения с неаналитическим возмущением. Деформация множеств Мандельброта и Жюлиа. Преобразование бифуркационных точек в линии, возникновение областей квазипериодики и языков Арнольда из лепестков «кактуса» Мандельброта. Механизм фрактализации границ бассейнов притяжения двумерных необратимых систем по Мира. Понятие о критических линиях.
12. Обобщения комплексных чисел и обобщенные объекты КАД
Теорема Фробениуса о единственно возможном обобщении системы действительных чисел с сохранением всех ее основных алгебраических свойств, в том числе отсутствия делителей нуля. Вторая теорема Фробениуса о существовании алгебр, которые не имеют делителей нуля, но в которых не выполняется коммутативность или коммутативность и ассоциативность умножения. Гиперкомплексные числа. Изобретение кватернионов У. Гамильтоном (1843 г.). Кватернионы как система четырехмерных комплексных чисел (отказ от коммутативности). Октавы Кэли как восьмимерные числа (отказ от коммутативности и ассоциативности). Невозможность трехмерного обобщения комплексных чисел. Системы чисел с сохранением законов умножения, но с наличием делителей нуля. Двухкомпонентные числа: эллиптические (изоморфны комплексным), гиперболические (двойные), параболические (двойственные). Обобщенная теория функций комплексного переменного. Многокомпонентные числа, смешанные числа, финслеровы пространства. Применения гиперкомплексных чисел для описания пространств с различной симметрией. Множества Мандельброта и Жюлиа для гиперкомплексных отображений. Применение кватернионов для описания вращения (в компьютерной графике и при создании компьютерных игр).
13. Построение моделей реальных физических систем, в которых реализуются феномены КАД
Маятник в поле трех магнитов. Переход к комплексным переменным для описания двумерной задачи о движении осциллятора в поле трех притягивающих центров. Комплексное неаналитическое уравнение движения. Бассейны притяжения и их границы (фрактальные, но дифференцируемые кривые в отличие от множеств Жюлиа). Хаотические режимы и проблема «трех тел».
Динамика движения частицы в магнитном поле (задача Бека). Получение множества Мандельброта в реальной физической системе — популярное и полезное направление современных исследований в области нелинейной динамики (задача Бека — одна из первых попыток). Движение частицы на плоскости под действием непериодических внешних импульсов в зависящем от времени и скорости частицы магнитном поле при наличии нелинейного затухания. Переход к комплексным координатам. Искусственная “подгонка” характеристик системы для получения аналитического комплексного уравнения движения. Возникновение множества Мандельброта на плоскости амплитуд внешних импульсов.
Реализация множества Мандельброта для связанных систем. Сведение комплексного отображения к связанным вещественным отображениям (симметричная и антисимметричная замены переменных). Динамика связанных логистических отображений при различных параметрах связи - три характерных типа карт режимов. Аналогия с тремя типами обобщенных комплексных чисел. Получение изображения множества Мандельброта в эксперименте с электронным аналоговым устройством. Система связанных нелинейных осцилляторов с периодическим воздействием.
14. Приложения объектов КАД и их свойств
Проблема сходимости метода Ньютона (задача Кэли). Уравнение f(x) = 0 может иметь комплексные корни. Обобщенный на комплексный случай итерационный численный метод Ньютона (метод касательных) для поиска корней. Исследование сходимости метода в зависимости от начального приближения. Множество Жюлиа как граница между областями сходимости к различным корням. Случай двух корней — граница является равноудаленной от корней прямой. В случае трех корней реализуется не гладкая (“пирог Ньютона”) граница, а фрактальная (множество Жюлиа, каждая точка которого является трехсторонней). Интерпретация множества Мандельброта на плоскости параметров и плоскости комплексифицированного шага. Области расхождения метода — вне множества Мандельброта. Периодические лепестки М — области «зацикливания» метода. Итерационная формула Ньютона как дискретная Эйлерова модель дифференциального уравнения. Переход к непрерывному времени (к обратимости во времени) дает гладкую сепаратрису.
Описание неоднородных эмиссионных поверхностей ряда материалов (алмазоподобные пленки, тубелены, пористый кремний) моделью фрактального катода. Использование возможности вычисления полевых характеристик фрактального катода, заданного множеством Жюлиа. Связь эмиссионных свойств катода с его фрактальной размерностью.
Агрегация фрактальных кластеров. Визуальная аналогия фрактальных кластеров, возникающих для модели ограниченной диффузией агрегации, с дендритоподобными множествами Жюлиа. Проведение аналогии между понятием диффузионного поля и электростатическим полем множества Жюлиа.
Теория фазовых переходов. Теория Ли-Янга о нулях статистической суммы (выход на комплексную плоскость температур). Множество Жюлиа как фрактальная фазовая граница. Термодинамический потенциал – потенциал множества Жюлиа. Фазовые переходы 1-го и 2-го рода. Интерпретация множества Мандельброта. Новые фазовые состояния (модулированная фаза и др.).
Теория перколяции. Комплексификация итерационного вероятностного отображения для модели протекания. Множество Жюлиа как граница области перколяции. Динамика иерархических цепочек импедансов.
15. Странный нехаотический аттрактор
Понятие странного нехаотического аттрактора (СНА). Простейшие примеры СНА: Модель с бифуркацией вилки с квазипериодическим воздействием, логистическое отображение с квазипериодическим воздействием, модель с касательной бифуркацией и с квазипериодическим воздействием, отображение окружности с квазипериодическим воздействием.
Фрактальная структура и размерность СНА. Спектральные свойства СНА. Показатели Ляпунова СНА и показатели, определенные на конечном времени. Показатель фазовой чувствительности. Метод рациональных аппроксимаций и природа СНА. Бифуркации в системах с квазипериодическим воздействием и сценарии рождение СНА.
Экспериментальное наблюдение феноменов, связанных с присутствием СНА (обзор).
