Авторы - д.ф.-м.н., профессор С.П. Кузнецов и к.ф.-м.н., доцент Л.В. Тюрюкина
Введение
Проблема перехода к хаосу в динамических системах в зависимости от управляющего параметра. Исторические замечания: работы Ландау, Рюэля и Такенса, Фейгенбаума, Помо и Манневиля, Арнольда и др.
Задача о потере устойчивости предельного цикла и классификация сценариев. Треугольник устойчивости. Три варианта потери устойчивости предельного цикла. Роль нелинейных членов. Общее понятие о сценариях перехода к хаосу через удвоения периода, квазипериодичность, перемежаемость I, II и III типа. Проблема многопараметрического анализа перехода к хаосу и понятие коразмерности.
Каскад удвоений периода
Модельная система — логистическое отображение. Феноменология сценария перехода к хаосу через удвоения периода: бифуркационное дерево, зависимость ляпуновских показателей от параметра, эмпирическое открытие Фейгенбаумом констант скейлинга α и δ. Критическая точка. Представление о динамике в закритической области. Порядок Шарковского.
Идея ренормгруппового (РГ) анализа. Приближенный РГ анализ. Константа α. Циклы в критической точке и универсальный мультипликатор. Оценка константы δ.
Вывод функционального рекуррентного уравнения РГ. Неподвижная точка уравнения РГ и численный метод ее нахождения.
Линеаризация уравнения РГ вблизи критической точки. Задача на собственные функции и собственные значения. Понятие о методе решения. Спектр собственных чисел. Седловой характер неподвижной точки, её устойчивое и неустойчивое многообразия. Объяснение скейлинга вблизи критической точки. Замечание о зависимости решения уравнения РГ и констант скейлинга от показателя степени отображения в точке экстремума.
Свойства динамики в критической точке: наличие счётного множества неустойчивых циклов. Критический аттрактор и его фрактальные свойства. Сигма-функция. Модель в виде двухмасштабного канторова множества. Спектр Фурье в критической точке и соотношение между амплитудами субгармоник различного уровня. Спектр размерностей Реньи, скейлинг-спектр.
Перемежаемость
Перемежаемость типа I в системе Лоренца и в логистическом отображении вблизи границы окна периодичности. Касательная бифуркация и условие реинжекции. Качественная картина: образование коридора, ламинарные и турбулентные стадии. Закон скейлинга для протяженности ламинарных стадий в зависимости от надкритичности. РГ анализ перемежаемости по аналогии с теорией Фейгенбаума. Явное решение уравнения для неподвижной точки и задачи на собственные значения.
Перемежаемость типа III. Субкритическая бифуркация удвоения периода и условие реинжекции. Качественная картина: ламинарные и турбулентные стадии. Закон скейлинга для протяженности ламинарных стадий в зависимости от надкритичности. РГ анализ перемежаемости по аналогии с теорией Фейгенбаума. Явное решение уравнения для неподвижной точки и задачи на собственные значения.
Квазипериодичность
Задача о бифуркациях двумерного тора. Отображение окружности: докритический, критический и закритический случай. Карта динамических режимов и языки Арнольда. Чертова лестница.Число вращения и его представление в виде цепной дроби. Подходящие дроби. Золотое сечение и другие квадратичные иррациональности. Числа Фибоначчи и рациональные аппроксиманты для золотого сечения. Траектория на плоскости параметров, отвечающая золотому сечению. Критическая точка GM (“golden mean”).
РГ анализ динамики в критической точке GM. Идея РГ анализа — рассмотрение динамики на интервалах времени, даваемых числами Фибоначчи. Вывод РГ уравнения и его решение. Спектр линеаризованного оператора РГ. Свойства скейлинга в фазовом пространстве и пространстве параметров.
Замечание о других числах вращения: структура РГ уравнений, неподвижные точки, циклы, ренормхаос. Переход к хаосу внутри языков Арнольда: удвоения периода, трикритические точки.
