Авторы - д.ф.-м.н., профессор С.П. Кузнецов и к.ф.-м.н., доцент Л.В.Тюрюкина
Введение. Что такое динамический хаос. Основные этапы формирования представлений о динамическом хаосе.
Хаос в искусственно сконструированных динамических системах
Одномерные отображения. Отображение «зуб пилы». Символическая динамика и сдвиг Бернулли. Отображение «тент». Логистическое отображение. Замена переменных Улама–фон Неймана. Решение для динамической переменной в явном виде. Итерации в обратном времени и кодирование RL-последовательностью.
Двумерные отображения. Отображение пекаря как пример консервативной системы с хаотической динамикой. Конструирование отображения пекаря исходя из постулированной символической динамики. Наглядная интерпретация отображения пекаря и свойство перемешивания. Отображение «кот Арнольда». Определение и наглядная интерпретация с использованием изображения кота. Бесконечное множество периодических орбит. Растягивающее и сжимающее собственные направления и перемешиваемость.
Странные хаотические аттракторы. Обобщенное отображение пекаря. Аттрактор Плыкина. Соленоид Смейла–Вильямса. Гиперболичность.
Система Лоренца
Физические задачи, приводящие к уравнениям Лоренца. Конвекция Рэлея–Бенара, водяное колесо, конвекция в петле, модель одномодового лазера, осциллятор с инерционной нелинейностью. Аналитическое исследование системы Лоренца. Симметрия. Диссипативность системы Лоренца. Неподвижные точки и их исследование на устойчивость. Бифуркации в модели Лоренца. Результаты численного моделирования динамики системы Лоренца. Представление динамики с помощью приближенного одномерного отображения.
Другие примеры систем с хаотической динамикой
Модели с дискретным временем. Отображение Эно и его механическая модель. Отображение Икеды как модель нелинейного кольцевого резонатора, возбуждаемого лучом лазера. Подталкиваемый периодическими импульсами автогенератор и отображение Заславского.
Искусственно сконструированные дифференциальные уравнения. Система Рёсслера. Системы Спротта.
Нелинейные осцилляторы под периодическим внешним воздействием. Осциллятор Уэды и LR-контур с полупроводниковым диодом.
Автономные системы — электронные генераторы. Генератор Кияшко–Пиковского–Рабиновича. Генератор с инерционной нелинейностью Анищенко–Астахова. Кольцевой генератор Дмитриева–Кислова. Схема Чуа.
Сечение Пуанкаре, подкова Смейла, теорема Шильникова
Сечение Пуанкаре для автономных систем и стробоскопическое сечение для систем с периодическим воздействием: сведение динамики трехмерных систем к двумерному отображению.
Подкова Смейла. Построение модельного отображение и объяснение канторо-подобной структуры множества точек, остающихся в прямоугольной области при бесконечном числе итераций.
Теорема Шильникова: возникновение подковы Смейла и сложной динамики вблизи ситуации, когда реализуется петля сепаратрисы седло-фокуса.
Гомоклиническая и гетероклиническая структуры
Устойчивое и неустойчивое многообразия неподвижной точки и возможность их пересечения. Гомоклиническая структура и ее связь с подковой Смейла. Гетероклиническая структура. Критерий Мельникова появления гомоклинической структуры при вынужденных колебаниях нелинейного осциллятора.
Функция распределения, инвариантная мера, эргодичность и перемешивание
Статистический подход к исследованию хаотической динамики. Функция распределения и инвариантная мера. Теорема Крылова–Боголюбова о существовании инвариантной меры. Негиперболические системы и квазиаттракторы.
Эргодичность и ее роль в статистической механике. Перемешивание как более сильное свойство, необходимое для объяснения релаксации замкнутой системы к термодинамическому равновесию. Связь перемешивания с затуханием корреляций и чувствительной зависимостью от начальных условий.
Одномерные отображения: инвариантные распределения и уравнение Фробениуса–Перрона. Потоковые системы: уравнение для плотности распределения и портреты странных аттракторов в серых тонах.
Устойчивость и неустойчивость. Ляпуновские характеристические показатели.
Устойчивость по Лагранжу.
Устойчивость по Пуассону. α- и ω- предельные точки, Α- и Ω- предельные множества. Определение устойчивости по Пуассону через предельные множества и через возвраты Пуанкаре. Как соотносятся свойства возвратов Пуанкаре с характером динамического режима (периодический, квазипериодический, хаос)?
Устойчивость по Ляпунову и характеристические показатели Ляпунова. Анализ на устойчивость по линейному приближению. Геометрический смысл ляпуновских показателей и их алгебраическая интерпретация через сингулярные числа матрицы линеаризации. Ляпуновские показатели неподвижных точек и предельных циклов. Другие аттракторы и роль мультипликативной эргодической теоремы. Общие свойства спектра ляпуновских показателей для автономных потоковых систем. Классификация аттракторов по сигнатуре спектра ляпуновских показателей.
Примеры аналитического вычисления показателей Ляпунова для модельных отображений: отображение «зуб пилы», отображение «тент», обобщенное отображение пекаря.
Численные методы вычисления показателей Ляпунова. Алгоритм Бенеттина. Использование ортогонализации по Граму–Шмидту при вычислении спектра ляпуновских показателей. Примеры: логистическое отображение, отображение Эно, отображение Икеды, модель Лоренца, осциллятор Рёсслера. Двухпараметрический анализ нелинейной динамики и карты ляпуновского показателя на плоскости параметров.
Геометрия странных аттракторов и фрактальная размерность
Фрактальная структура хаотических аттракторов. Определение фракталов и простейшие примеры: множество Кантора, снежинка Коха, ковер Серпинского. Пример появления множества Кантора в динамической системе. Мера и мощность множества Кантора.
Емкость и фрактальная размерность. Определение размерности с помощью процедуры покрытия элементами одинаковой формы и размера. Размерность множества Кантора. Размерность Хаусдорфа и ее связь с емкостью. Фрактальная размерность аттрактора в обобщенном отображении пекаря.
Информационная размерность и ее роль. Корреляционная размерность и алгоритм Грассбергера–Прокаччиа. Обобщенные размерности Реньи и их вычисление для обобщенного отображения пекаря. График зависимости размерности от параметра q. Связь обобщенных размерностей с фрактальной, информационной и корреляционной.
Формула Каплана–Йорке и ляпуновская размерность.
