Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины (модуля) «Элементы функционального анализа» являются: овладение основными фактами, идеями и методами функционального анализа (открытые, замкнутые, плотные, компактные множества, векторное и метрическое пространство, сходимость, полные метрические пространства, принцип сжимающих отображений и его приложения); развитие математического мышления, способностей доказывать теоремы, исследовать объекты различной природы аналитическими методами с применением современного математического аппарата; развитие способности применять методы функционального анализа в научных исследованиях.
Структура и содержание дисциплины (модуля) «Элементы функционального анализа»
Общая трудоемкость дисциплины составляет 2 зачетных единицы, 72 часа; форма промежуточной аттестации: зачет (4 семестр).
Разделы дисциплины
Векторные пространства
Векторные пространства. Скалярное произведение. Свойства скалярного произведения. Неравенство Коши-Буняковского. Определение нормы. Норма, нормированные пространства.
Метрические пространства
Метрические пространства. Предельные, изолированные, внутренние, граничные точки. Замыкание. Сходимость. Предел последовательности.
Замкнутые и открытые множества
Замкнутые и открытые множества. Теоремы о пересечении, объединении конечного числа замкнутых множеств, о пересечении конечного числа, объединении открытых множеств.
Непрерывные отображения метрических пространств
Плотные множества. Компактные метрические пространства. Свойства компактов. Непрерывные отображения метрических пространств.
Полные метрические пространства
Образ компакта при непрерывном отображении метрических пространств. Теорема Вейерштрасса. Фундаментальная последовательность. Полные метрические пространства.
Полнота компактного метрического пространства
Полнота компактного метрического пространства. Теорема о вложенных шарах. Неподвижная точка отображения.
Принцип сжимающих отображений
Сжимающее отображение. Принцип сжимающих отображений. Теорема Банаха.
Приложения принципа сжимающих отображений
Приложения принципа сжимающих отображений: решение уравнений с одной переменной, решение систем линейных алгебраических уравнений, теорема существования и единственности решения задачи Коши 1-го порядка.
