Первая серия задач
1.1. Укажите 2015 последовательных натуральных чисел, ни одно из которых не является простым.
1.2. Под длиной слова понимается количество букв в нём. Слово длины k называется компактным, если из его букв можно сложить осмысленные слова (в словарной форме) всех длин 2, 3, …, k-1. Например, для слова САЛОН имеем: ас, сон, слон. Предложите компактные слова как можно большей длины.
1.3. Вершинами правильного многоугольника являются буквы алфавита, записанные по часовой стрелке. Некоторые отрезки (т.е. стороны или диагонали) многоугольника ориентированы так, что каждая вершина служит началом одного из векторов и концом другого. Секретный ключ – натуральное число k ≥ 1. Шифрование осуществляется заменой буквы открытого текста на букву, в которую из нее приводит k-шаговый ориентированный маршрут. Например, шифр Цезаря получается при ориентации сторон многоугольника по часовой стрелке и выборе в качестве ключа k = 3. Докажите, что описанный метод шифрования позволяет, зная ключ, однозначно восстановить по криптограмме исходный текст.
1.4. Работаем с натуральными числами. Составьте программу, которая для заданного n находила бы количество k(n) чисел, не превосходящих n и не делящихся ни на одно из чисел 3, 5, 7.
1.5. Каждому сотруднику Лаборатории № 1 вручен его идентификатор – браслет, составленный из трех цветных камней (красный, желтый, синий) и соединяющих их трех цепочек, окрашенных каждая в белый или черный цвет. Оцените возможное количество сотрудников Лаборатории № 1.
Вторая серия задач
2.1. Середины сторон четырехугольника последовательно соединены отрезками. Зная, что площадь образованного ими четырехугольника равна 1, найдите площадь исходной фигуры.
2.2. Приведите примеры, показывающие, что для отношения быть синонимом свойство транзитивности («синоним моего синонима – мой синоним») в общем случае не имеет места.
2.3. Каждой букве алфавита сопоставляется буква, стоящая на ее месте в шифроалфавите, который получается перечислением в естественном порядке сначала согласных, а затем гласных букв. Шифрование осуществляется по схеме из 1.3. Зная, что был использован ключ Цезаря, прочтите тезис известного английского философа из его трактата «Новый Органон»: LHTMESTD MLS OISMESTD (FDHIE). В какой русской интерпретации вы знаете этот лозунг?
2.4. Составьте программу, которая для заданного k находила бы наименьшее n(k) такое, что среди чисел, не превосходящих n(k), имеется ровно k не делящихся ни на одно из чисел 3, 5, 7.
2.5. Каждому сотруднику Лаборатории № 2 вручен его идентификатор – браслет, составленный из четырех цветных камней (два красных и два синих) и соединяющих их четырех цепочек, окрашенных каждая в белый или черный цвет. Оцените возможное количество сотрудников Лаборатории № 2.
Третья серия задач
3.1. Докажите, что в любом многограннике есть грани с одинаковым числом сторон.
3.2. Для каждой из 32 букв русского алфавита (Ё отождествляется с Е) укажите осмысленное слово с максимальным количеством вхождений этой буквы. Например, буква Е в слово переселенец входит 5 раз.
3.3. Зная шифровальную таблицу
восстановите по криптограмме РЫККЕ КМКЬЫ ЮАЫЛЦ АОЙОЫ ХАШЫФ ЛНОХЧ ФУВЧП ЖЯЩЦИ исходный текст, первым словом которого является наука. Какому литературному герою принадлежат эти слова?
3.4. Имеется последовательность из n целых чисел. Составьте программу, которая для заданного k < n выделяла бы в этой последовательности k подряд идущих членов с минимальной суммой.
3.5. Каждому сотруднику Лаборатории № 3 вручен его идентификатор – браслет, составленный из пяти цветных камней (последовательно: три красных и два синих) и соединяющих их пяти цепочек, каждая из которых окрашена в белый или черный цвет. Оцените возможное количество сотрудников Лаборатории №3.
Четвертая серия задач
4.1. Докажите, что число, составленное из единиц и семерок, делится на три тогда и только тогда, когда делится на три количество цифр в нем.
4.2. Приведите пример глагола, который в некотором лице множественного числа имел бы больше слогов, чем в том же лице единственного числа. Попробуйте найти и противоположный пример.
4.3. (Выписывая букву за буквой). Прочтите донесение агента:
КАК НЫНЕ СБИРАЕТСЯ 15415 11311 37218 45113 41331 24521 13613 72251 12141 21222 31353 43142 43315 32352 11237
(Подсказка: 14114 21431 44145 означает вещий).
4.4. Составьте программу, которая для заданного натурального числа k выдавала бы в порядке возрастания k первых чисел вида 2m3n, где m и n – неотрицательные целые.
4.5. Каждому сотруднику Лаборатории № 4 вручен его идентификатор - браслет, составленный из шести цветных камней (последовательно: красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий) и шести соединяющих их цепочек, каждая из которых окрашена в белый или черный цвет. Оцените возможное количество сотрудников Лаборатории № 4.
