Первая серия задач
1.1. Докажите, что сумма 
не является целым числом.
1.2. Исключите лишнее слово: ААБЗКЛЬ, АИКОПСС, ВОООЛХШ, ДЕИККНС, ЙЛООСТТ.
1.3. (Перемешивание алфавита). Зная секретный ключ (5 ПОЛЯРНИК, 28 ЯРКОЗЕЛЁНЫЙ), прочтите наставление Центра:
КЬАПЛД МКМЬЁЪ ДЭБВДМ УАФЗХС ЛШЬЖЖЧ ЩЖДЭЪМ.
1.4. Пусть a и b - натуральные числа, b - нечетное. На какой вопрос отвечает программа?
ПРОЧЕСТЬ a,b
ПОКА a >=b ВЫПОЛНЯТЬ
ЕСЛИ a четно ТО a:=a/2
ИНАЧЕ a:=a-b
КОНЕЦ_ЕСЛИ
ВЕРНУТЬСЯ
СООБЩИТЬ ЕСЛИ a=0 ТО "ДА"
ИНАЧЕ "НЕТ" КОНЕЦ_ЕСЛИ
1.5. В правильном шестиугольнике проведено некоторое число диагоналей. Докажите, что, отправляясь из любой вершины, можно пройти по каждой стороне и каждой диагонали точно два раза - во встречных направлениях - и вернуться в исходную точку.
Вторая серия задач
2.1. Пусть [х] обозначает целую часть числа х, а {х}- его дробную часть. Докажите, что sin [π / 2]= cos {π / 2} и cos [π]+ cos {π}=0.
2.2. В русском языке есть существительные, не являющиеся неизменяемыми, у которых винительный падеж множественного числа совпадает с творительным падежом единственного числа. Укажите все известные вам примеры.
2.3. Зная, что после шифрования на ключе «Белеет парус одинокий» из слова Олимпиада получается ФРРНХМЗКЕ, прочтите донесение Резидента:
ЬНЮЖЦТФ УККЬЮЙТ УЕЩГЕЛГ ЧСНООЦМ УЕФЛСВЮ.
2.4. Ряд цифр 1 2 3 4 5 6 7 8 9 нужно разбить знаками + и – так, чтобы полученная сумма равнялась заданному числу n>0. Например, для n=10 возможным вариантом является 123-45-67+8-9. Найдите первые пять натуральных чисел, допускающих подобное представление. Попробуйте написать программу, которая выдаст все разложения числа n в суммы указанного вида или сообщит, что таких представлений n не имеет.
2.5. (Четырех красок достаточно!) В правильном шестиугольнике проведены пять диагоналей. Докажите, что при любом их расположении вершины шестиугольника можно окрасить в четыре цвета так, чтобы никакие две смежные (т.е. соединенные отрезком) вершины не были одного цвета.
Третья серия задач
3.1. Докажите, что для любого простого числа p>5 найдется число, кратное p, все цифры которого – единицы.
3.2. Русское существительное в принципе может иметь 12 форм (по 6 падежей в двух числах), некоторые из которых могут совпадать. Однако существует такая форма (определенный падеж одного из чисел), что никакое изменяемое существительное, стоящее в этой форме, не совпадает ни с какой другой своей формой. Что это за форма?
3.3. Прочтите ответ Центра на донесение Резидента (см. Задачу 2.3):
π: ЧМЧКЩРУ БФЦНХЗК РМХЕМРЦ ГЯИЗЙПБ ТДСЕЫРИ ФЫБЦЫКЕ ППЙСШКЖ.
3.4. В прямоугольную таблицу вписаны произвольные натуральные числа, все разные. Игрок А отмечает в каждой строке наибольшее число и из отмеченных чисел выбирает наименьшее. Игрок Б отмечает в каждом столбце наименьшее число и из отмеченных чисел выбирает наибольшее. Сможете ли вы предложить такую исходную таблицу, чтобы у игрока Б оказалось большее итоговое число, чем у игрока А?
3.5. Докажите, что n точек можно соединить отрезками так, что для любого целого числа k, 1 <= k <= n-1, найдется точка, смежная (т.е. соединенная отрезком) ровно с k другими точками.
Четвертая серия задач
4.1. Докажите, что в прямоугольном треугольнике сумма длин катетов превышает длину гипотенузы на величину диаметра вписанной в этот треугольник окружности.
4.2. Из названий российских городов составьте цепочку максимальной длины, в которой каждое следующее слово начинается с буквы, завершающей предыдущее. Аналогичным образом составьте и цикл максимальной длины.
4.3. Ключом шифра является таблица 5x5, в которую в естественном порядке построчно вписаны буквы латинского алфавита (без j). Расшифруйте криптограмму
LIQPIMIRVLOYBHEBVHTCLMWROVDOTMWROGWDANRS, зная, что первым словом открытого текста является cryptography.
4.4. Квадратная таблица заполнена нулями и единицами, причем в каждой строке таблицы стоит точно одна единица. Докажите, что 1) если ни в каком столбце нет больше одной единицы, то в каждом столбце обязательно есть единица; 2) если в каждом столбце есть единица, то только одна.
4.5. (Пяти красок достаточно!) Имеется некоторое число точек и некоторое число соединяющих их отрезков, причем никакая точка не имеет более четырех соединений. Докажите, что, используя самое большее пять красок, можно окрасить эти точки так, чтобы смежные (т.е. соединенные отрезком) точки были разного цвета.
