Первая серия задач
1.1. Доказать, что число 11..1, составленное из 2007 единиц, не является квадратом целого числа.
1.2. Пусть a, b – длины катетов, c – длина гипотенузы прямоугольного треугольника. Докажите, что aπ + bπ < cπ.
1.3. Прочти и передай товарищу:
ПУТЛРРЧ ОИИИАЙМ
ПГСЗПТЛ ТАИОАИО
АГШЮЧДР АВНЕАЕШ
ОПФМЕЙО ИКСОКИ
1.4. В качестве первого члена последовательности берется произвольное натуральное число. Далее за любым членом последовательности следует сумма квадратов всех его цифр.
1) Составьте программу, позволяющую проследить эволюцию заданного натурального числа.
2) Каким общим свойством обладают рассматриваемые последовательности?
3) Докажите это свойство (см. задачу 2.3 Четвертой олимпиады).
1.5. (К проблеме дорог). В стране с плохими дорогами решено из каждого города проложить шоссе экстракласса до ближайшего к нему города. Предполагая, что расстояния между любыми двумя парами городов не равны, докажите, что построенные шоссе не будут пересекаться.
Вторая серия задач
2.1. Известно, что 4,5% всего населения и 0,5% женщин являются дальтониками. Каков процент дальтоников среди мужчин, доля которых равна 48%.
2.2. Докажите, что для любого натурального числа n выражение n2(n2-1)(n2-4) делится на 360.
2.3. (Книжный шифр). Расшифруйте следующее сообщение, переданное агентом в Центр. Г 4-3 13-14 8-3 ОНИ 12-5 11-8 7-17 МЫ 2-7 10-9 5-7 В 14-16 1-11 6-2 Е 9-15 15-2 3-3 Ш 7-12 4-5 2-13 НИМИ 8-17 10-4 11-11 ЛУЧ 12-10 5-17 6-23 А 9-12 14-3 3-5 М 6-13 5-5 1-17 И
2.4. Начиная со слова "день", составьте по возможности длинный ряд из неповторяющихся существительных в единственном числе так, чтобы каждое следующее слово отличалось от предыдущего только одной буквой (например, ряд день-пень-пена-вена-вина-виза-ваза можно значительно продолжить!). Предложите четырех- и пятибуквенные слова с рекордным, по вашему мнению, "шлейфом" (привлеките компьютер).
2.5. Из нашей Столицы можно прилететь прямыми авиарейсами в 99 населенных пунктов (н.п.), из поселка Авиатор - в один. Учитывая, что любой другой н.п. непосредственно связан воздушным сообщением с числом н.п., в два раза превышающим количество букв в его названии, докажите, что существует авиамаршрут (возможно с пересадками) из поселка Авиатор в столицу.
Третья серия задач
3.1. Докажите, что если в каждом из трех идущих подряд месяцев окажется четыре воскресенья, то один из этих месяцев - февраль.
3.2. Докажите, что ни при каком натуральном n число 2n+1 не делится на 7.
3.3. (Алфавитная перестановка). Расшифруйте следующее сообщение, переданное Центром агенту -
ДЯДЯ САМЫХ ЧЕСТНЫХ ПРАВИЛ:
БЮГЖЗ ЙКОЖФ ЫЪФЦШ
КОЖХХ ДПФШЭ МЭЖЩХ
ЮВАЧМ ЦФИЦХ ЦНЭЕЪ
3.4. Пусть a1 - нечетное число, большее 1. Положим an+1=an/2, если an - четное, и an+1=(3an+1)/2, если an - нечетное. Последовательность заканчивается, когда в ней появляется число 1. Неизвестно, для любого ли нечетного a1 последовательность a1,a2,: конечна. Среди первых 100 нечетных чисел укажите те, которые порождают последовательность максимальной длины.
3.5. Из любых четырех участников международного симпозиума лингвистов один может объясниться с каждым из остальных трех хотя бы на одном языке. Докажите, что найдется участник симпозиума, который может объясниться со всеми участниками.
Четвертая серия задач
4.1. Не используя отрицательных конструкций, сформируйте предложения, противоположные для следующих утверждений.
1) В одном из 11-х классов нашей школы нет отличников.
2) Ни в одном отделе этого магазина нет дешевых товаров.
3) Он не делает ничего для того, чтобы этого не произошло.
4) Он делает все для того, чтобы это произошло.
4.2. Программист написал программу, которая переводит вводимые строки символов в последовательности 0 и 1, а также осуществляет обратное преобразование. Однако в алгоритме программы была допущена ошибка. При последовательном выполнении операций кодирования и декодирования не получается исходная строка. Так из строки crypto после кодирования и декодирования получается строка ЭОЗРМС. В чем заключается ошибка программиста?
4.3. Зная, что ключом шифра является магический квадрат
| 2 | 7 | 6 |
| 9 | 5 | 1 |
| 4 | 3 | 8 |
восстановите текст одного из главных принципов криптографии: РНЕЕЦПОИКЖИЛОНСТСОДФРШАОМЫИЕПЧМАСУТКИВПОТИНРОТКЕИВСЗНУЕНЕКМООСВОАЕЮКМЛРЧ.
4.4. Найдите трехзначное число, имеющее наибольшее количество различных делителей.
4.5. Каждый из 17 школьников переписывается со всеми остальными. При этом каждая пара обсуждает только одну из трех согласованных тем. Докажите, что по крайней мере трое из них переписываются друг с другом по одной и той же теме.
