Первая серия задач
1.1. В множестве чисел A={1, 2, …, 2005, 2006} выделите такое подмножество B, что каждое число из A либо принадлежит B, либо однозначно представимо в виде суммы чисел из B.
1.2. Без труда справившись с образцом тайнописи старинной дипломатии –
ПАЙЦИКЕ ТСЮГ Т "КАМАЩАМЛТОЙ ЧМАРОКЕ" – КАЙПОНИЛИ, НМИРЕПЯШВЕЙЛЯ Ш МОЛЛИИ ЦСЯ ЦИНСОРАКИГЕЛТОЙ НЕМЕНИЛТИ,
попробуйте вскрыть более искусный шифр –
ЫЛЧУВФНУЮЕГИХВФСЗИУЙГРЛИВХИНФХГ.
1.3. 50 студентов первого курса в течение семестра выполнили три контрольных работы. По первой получили зачет 34 человека, по второй – 31, по третьей – 30. При этом первую и вторую работу успешно выполнили 24 студента, первую и третью – 21, вторую и третью – 17, все три – 14 студентов. Сколько студентов не получили зачета ни по одной работе? Сколько человек справились только с одной работой? Точно с двумя работами?
1.4. Каждой дате года естественным образом сопоставляется число: от 101 (первое января) до 3112 (тридцать первое декабря). Какое из этих чисел имеет наибольшее число делителей?
1.5. В правильном семиугольнике ориентирована каждая сторона и каждая диагональ, причем стороны образуют контур (ориентированный цикл). Докажите, что в полученной конфигурации обязательно найдутся также контуры с 3, 4, 5 и 6 сторонами.
Вторая серия задач
2.1. Докажите, что все числа 10017, 100117, 1001117, … делятся на 53.
2.2 (Шифр Плейфера). Агент потерял поврежденный листок из блокнота с записями:
К О М П Ь Ю Т..
Р А Б В Г Д Ж З
И Й Л Н С У....
Ц Ч Ш Щ Ъ Ы....
вэ -> ЖЩ, мю -> ПТ, аз -> БР ...
На следующий день была перехвачена его шифровка:
"яблочный джем - РЛЕМСУМНГВЕШПЛПФ".
Восстановите исходный текст.
2.3. Сколько лет Полковнику, если его возраст год назад делился на 3, через 2 года будет делиться на 5, а через 4 года – на 7?
2.4. Пусть n – натуральное число. Под латинским квадратом порядка n понимается таблица L с n строчками и n столбцами, заполненная числами 1, 2, …, n так, что любое из этих чисел только один раз встречается в каждой строчке и в каждом столбце. Латинский квадрат определяет шифр, где открытыми текстами являются числа 1, 2, … n, секретными ключами – они же и криптограммой текста i на ключе j будет число, стоящее в строчке j и столбце i латинского квадрата L. Найдите несколько латинских квадратов порядка 4 и зашифруйте с помощью каждого из них сообщение 3 на ключе 2.
2.5. В волейбольном турнире памяти Эйлера участвовало 11 команд, все из разных городов. При этом каждая команда играла 5 матчей на своей площадке и 5 матчей в гостях. За победу в матче давалось +1 очко, а за поражение –1 очко. В итоге каждая команда набрала 0 очков. Докажите, что расписание могло быть составлено так, что в каждом матче побеждала команда – гость.
Третья серия задач
3.1. Давно замечено, что процент богатых среди здоровых больше, чем процент богатых среди всех людей. А вот процент здоровых - больше среди богатых или среди всех людей?
3.2. В одном из романов Жюля Верна некто Ортега раскрывает тайну преступления, совершенного двадцать три года назад на алмазных рудниках, следующей шифрованной запиской:
СГУЧПВЭЛЛЗИРТЕПНЛНФГИНБОРГЙУГЛЧДКО
ТХЖГУУМЗДХБТЖФЫГУЧОЮНВРЙЙРТУФКДГ
Узнав, кто был автором криптограммы, судья смог прочесть ее. Попробуйте это сделать и вы.
3.3. Наконец, наша работа завершилась:
ПРОЧЕСТЬ a, b;
p = max(a, b);
q = min (a, b) ;
ПОКА q >= eps ВЫПОЛНЯТЬ
r = (q/p)2 ;
s = r / (r + 4);
p = (2 * s + 1) * p;
q = s * q;
ВЕРНУТЬСЯ
РЕЗУЛЬТАТ = p
Первоклассница Света спрашивает: "А что вычисляет эта программа?". Все смеются.
3.4. Восстановите исходный русский текст по криптограмме:
ШЫР - ПИР Ю ПЯПЮЖГЫ ЗЭЛЭМЪГЫЙ ГЁСРЫГ,
ФЁД ГЯГ, ФЁД ГЯГ, ЗЭЛЭМЪГЫЙ ГЁСРЫГ.
Как будет выглядеть криптограмма для У ПОПА БЫЛА СОБАКА ... ?
3.5. В стране 15 городов, некоторые из них соединены авиалиниями, принадлежащими трем авиакомпаниям. Известно, что если любая из этих компаний прекратит полеты, можно будет добраться из любого города в любой другой (возможно с пересадками), пользуясь рейсами оставшихся двух компаний. Какое наименьшее количество авиалиний может быть в стране?
Четвертая серия задач
4.1. Не прибегая к помощи компьютера, расположите в порядке возрастания дроби 
4.2. При анализе некоторой секретной переписки установлены следующие обозначения населенных пунктов области:
БАЛАКОВО - 8215,
АХМАТ - 5119,
ГОРНЫЙ - 6410,
ВЯЗОВАЯ - 7332,
ЕЛАНЬ - 5629.
Как согласно этой логике зашифровать САРАТОВ?
4.3. На какой вопрос относительно натуральных чисел n и d (нечетное) отвечает следующая программа?
ПРОЧЕСТЬ n, d
ПОКА n>=d ВЫПОЛНЯТЬ
ЕСЛИ n четно ТО n=n/2
ИНАЧЕ n=n-d
КОНЕЦ_ЕСЛИ
ВЕРНУТЬСЯ
СООБЩИТЬ ЕСЛИ n=0 ТО "ДА"
ИНАЧЕ "НЕТ"
КОНЕЦ_ЕСЛИ
4.4 (Шифр Гарбо).
Пользуясь ключом
C O M P U
T E R A B
D F G H I
K L N Q S
V W X Y Z
агент зашифровал сообщение
arrives tomorrow train nine
как
PAGHKRZBWPEEMMOBMBSLGDXT
Расшифруйте его второе донесение:
BBRGPUAXCMDRDRARMESLCISQWNPOYDHI
4.5. Учитель диктует условие задачи: "Каждому из 37 абонентов сети известны электронные адреса ровно пяти других абонентов..."
- Не может быть! - удивляется один из учеников.
Что вызвало его недоверие?
