Первая серия задач
1.1. 2010 различных целых чисел разбиты на пары так, что ровно половина четных из этих чисел оказалась в паре с нечетным числом. Докажите, что эти числа нельзя разбить на пары так, чтобы ровно половина нечетных чисел оказалась в паре с четным числом.
1.2. Два слова называются омофонами, если они различаются в написании, но звучат одинаково, и называются омографами, если звучат по-разному, но пишутся одинаково. Приведите примеры русских омофонов и омографов как можно большей буквенной длины.
1.3. На ключе Горные вершины спят во тьме ночной слово с е к р е т шифруется как ЧМОТЙШ. Прочтите криптограмму
ФЩПКЫУЕЕМЖДДПЖПЖФХИОЕХ.
1.4. Возьмите произвольное натуральное число, имеющее не менее двух цифр, и прибавьте к нему число, записываемое теми же цифрами, но в обратном порядке. То же самое проделайте с полученной суммой и т.д. Составьте программу, реализующую эту процедуру. На основе компьютерных экспериментов сформулируйте гипотезу о возможных удивительных результатах указанных действий с числами и попробуйте обосновать ее.
1.5. В однокруговом турнире по волейболу (игра без ничьих) каждая команда выиграла хотя бы один матч. Докажите, что среди участников есть такие команды A, B, C, что A выиграла у B, B у C, а C у A.
Вторая серия задач
2.1. Найдите все решения уравнения 
.
2.2 (Лестница). Взяв некоторую букву, напишите столбиком последовательность начинающихся с нее слов такую, чтобы в каждом следующем слове было на одну букву больше, чем в предыдущем. Для какой буквы построенная вами таким образом «лестница» оказалась самой длинной? Покажите также «лестницы», занявшие у вас второе и третье место.
2.3 (Роковая оплошность). При обыске у агента была обнаружена печатная таблица
| а | б | в | г |
|
р | ф | ш | ь |
| д | е | ж | з | с | х | щ | э | |
| и | й | к | л | т | ц | ъ | ю | |
| м | н | о | п | у | ч | ы | я |
и рукописный текст
2.4. Расположив на окружности восемь натуральных чисел, замените каждое из них на абсолютную величину разности между этим числом и ближайшим к нему по часовой стрелке. То же самое проделайте с полученными восемью числами и т.д. Составьте программу, реализующую эту процедуру. На основе компьютерных экспериментов сформулируйте гипотезу о возможных удивительных результатах этих преобразований и попробуйте обосновать ее.
2.5 (К проблеме гамильтоновости). На кубе отмечены вершины и центры граней, а также проведены диагонали всех граней. Можно ли, двигаясь по отрезкам этих диагоналей, обойти все отмеченные точки, побывав в каждой из них ровно по одному разу и вернувшись в исходную?
Третья серия задач
3.1. Решить уравнение 15x4 + 4x3 - 6x2 + 4x - 1 = 0.
3.2. КОЛОКОЛ, ОСТРОЛИСТ, ЖЕЛЕЗО, ЗАКУСКА, ГЛУБИНА, ? , ФОТОСНИМОК. Какое слово выпало из этого ряда: сова, сойка, индюк?
3.3. Каждой букве латинского алфавита взаимно однозначно сопоставлена некоторая русская буква. При шифровании заменой буквы на букву текста
The rain is raining all around,
It falls on field and tree,
It rains on the umbrellas here
And on the ships at sea
получилась криптограмма, из букв, участвующих в которой, можно составить фрагмент другого знаменитого стихотворения:
Жди, когда наводят грусть
Желтые дожди.
Желтые дожди.
Докажите, что шифровальщик допустил ошибки. Можете вы назвать авторов этих стихов?
3.4. Первым членом последовательности является произвольное натуральное число, кратное трем, а каждый последующий член равен сумме кубов цифр предыдущего. Составьте программу, реализующую эту процедуру. На основе компьютерных экспериментов сформулируйте гипотезу об удивительном свойстве таких последовательностей и попробуйте обосновать ее.
3.5. Каждая из заданных 125 точек плоскости соединена отрезком ровно с 10 другими. После того, как некоторые точки стерли, все оставшиеся оказались соединенными с одинаковым количеством точек. Докажите, что хотя бы две из удаленных точек были соединены.
Четвертая серия задач
4.1. Когда автобус с одноместными и двухместными сидениями ехал из пункта A в пункт B, в нем сидело 13 человек и было 9 свободных сидений. На обратном пути в автобусе заняли места 10 человек и осталось 6 свободных сидений. Сколько сидений в автобусе?
4.2. АС, ВОР, РОТА, ТРАВА, АВТОР, ОСТРОВ, ОТРАВА, САРАТОВ, - какое слово здесь лишнее?
4.3 (Автоключ). Продолжите прерванный процесс дешифровки:
ШМЦШЛЙЩКСЫЗЮЭЫЩОМНИРЪЙЫЯЖЖЖОМЛПЬХВЛ
к л ю ч ш
н а ч а т
4.4. Последовательность a1, a2, … , an, … натуральных чисел строится следующим образом. В качестве a1 берем любое четырехзначное число, в котором есть хотя бы две разные цифры. Если an известно, то расположим цифры этого числа слева направо в порядке убывания, а затем в обратном порядке. Вычтем из большего числа меньшее и результат возьмем в качестве an+1. Составьте программу, реализующую эту процедуру. На основе компьютерных экспериментов сформулируйте гипотезу об удивительном свойстве последовательностей указанного вида и попробуйте обосновать ее.
4.5. 36 красных и синих точек соединены отрезками: каждая красная точка с 4 синими, а каждая синяя – с 5 красными. Сколько среди этих точек красных и сколько синих?
