Top.Mail.Ru
Skip to main content Skip to search

Первая серия задач

1.1. Докажите, что если p и q - простые числа, большие 3, то p2-q2 делится на 24.

1.2. Выписывая буквы по ходу шахматного коня, прочтите текст.
л е а ш е
з е а ш д
п е и м и
р ь с а н
ж ч о т у

1.3. Следующая криптограмма получена заменой каждой буквы открытого текста некоторой взаимно однозначно сопоставляемой ей цифрой. Проведите дешифровку и объясните свое решение.
1-2-3  4-5-4  2-1  6-6  2-7-8-4-1   2-6  9-2-3-6-4.

1.4. Имея в виду, что каждая буква заменяет некоторую определенную цифру, восстановите исходное арифметическое равенство:
О:Н = .(УЗНАЕТ)

1.5. Через Zm обозначается множество всех остатков от деления натуральных чисел на фиксированное натуральное число m. В Zm определяются операции сложения и умножения по модулю m: два числа складываются (умножаются) и берется остаток от деления суммы(произведения) на m. Например, в Z5 имеем: 2+4=1, 2*4=3 и т.п.
В Z5 решите уравнения x2 - x + 3 = 0 и x2 + 3x + 1 = 0.

Вторая серия задач

2.1. Дан словарь, то есть набор слов некоторого языка. Анаграммой данного слова называется всякое слово, полученное из него перестановкой букв. Укажите способ нахождения всех анаграмм в заданном словаре.

2.2. Дано натуральное число n, n<100000, и целые числа a1,...,an, -109 <= ai <= 109. Напишите программу, определяющую, можно ли из этих чисел составить арифметическую прогрессию, и если да, то укажите ее первый член и разность.

2.3. Найдите число X и цифру Y такие, что [3*(230+X)]2=492Y04.

2.4. В некоторых системах шифрования в качестве секретных ключей используются панграммы - слова, в которых нет одинаковых букв. Найдите панграммы с числом букв 5, 6, 7, 8, ... Как далеко вы продвинулись? Придумайте как можно более длинную фразу-панграмму.

2.5. Тридцати двум буквам русского алфавита А, Б, В, ..., Э, Ю, Я приписаны соответственно числа 1, 2, 3, ..., 30, 31, 0 (буквы Е и Ё отождествляются). Выбрано некоторое нечетное число k (секретный ключ). Шифрование текста осуществляется побуквенно следующим образом:
1) число a, соответствующее данной букве, умножается на k,
2) вычисляется остаток r от деления a*k на 32,
3) выписывается буква, соответствующая числу r.
Расшифруйте криптограмму:
МН ЩЩКФД ГШМОМЫД ЦЫДЩЩ.

Третья серия задач

3.1. Докажите, что если сумма трех целых чисел делится на 6, то и сумма их кубов делится на 6.

3.2. Палиндромы. Найдите число строк длины n над русским алфавитом (32 буквы), не изменяющихся при чтении в обратном порядке

3.3. Шифр Цезаря. Криптограмма ЩНТШНЪ получена из открытого текста циклическим сдвигом букв русского алфавита (А...ДЕЖ...ЩЬ...Я) на k знаков вправо. Найдите ключ k, восстановите исходное сообщение, а затем зашифруйте его циклическим сдвигом на k знаков влево.

3.4. При шифровании открытый текст разбивается на блоки одинаковой длины и в каждом блоке осуществляется перестановка букв по одной и той же схеме. Восстановите исходное сообщение по криптограмме:
ПЬОКМРХТЮЕШИРООМОПЙОККНЩИТОИРПФАРГА

3.5. Первоначально строка s состоит из данного сообщения, строка t - пустая. Шифрование сообщения происходит следующим образом:
1. если в строке s не осталось букв, шифрование закончено - криптограмма записана в строке t;
2. к строке t справа последовательно приписываются буквы из строки s, стоящие на нечетных местах;
3. из строки s вычеркиваются все буквы, стоящие на нечетных местах;
4. процесс повторяется, начиная с шага 1.
Например, для строки s=КРИПТОГРАФИЯ криптограммой будет t=КИТГАИРОФПЯР. Расшифруйте текст ПИЫАТАТАОЗОТИРВЗРЕМБВДЕРП. Какой символ строки s=s1s2...s1024 будет занимать в криптограмме t позицию 1000? Каким методом вы действовали?

Четвертая серия задач

4.1. Дано натуральное число k. Найти наименьшее натуральное число n, имеющее в точности k различных делителей. Можно считать, что k<=60.

4.2. Даны n целых чисел a1,a2,...,an и натуральное число m>1. Составьте программу, которая распределит числа a1,a2,...,an так, чтобы сначала шли (по возрастанию абсолютной величины) все числа, дающие при делении на m остаток 0, затем 1, 2,...,m-1.

4.3. Каждой букве ai руского алфавита (см. 2.5, 3.3) ставится в соответствие натуральное число f(ai). Сообщение m=m1m2... шифруется следующим образом: буква m1 циклически сдвигается в нем вправо на f(m1) позиций, затем m2 на f(m2) позиций и т.д. Расшифруйте криптограмму ДИМАИЛПАО.

4.4. Под буквами шифруемого текста последовательно подписываются буквы, составляющие начальный фрагмент некоторого литературного произведения (ключ). Шифрование осуществляется побуквенно сложением по модулю 32 (см. 1.5) номера данной буквы открытого текста (см 2.5) с номером стоящей под ней буквы ключа и последующим выписыванием буквы, соответствующей полученной сумме. Известно, что сообщение СМЕНИТЕШИФР было зашифровано как ЬНРЫДАЛККЭБ. Определите ключевое стихотворение.

4.5. Открытое сообщение разбивается на блоки по k букв в каждом (при необходимости к нему приписывается нужное число букв). Секретным ключом является вектор (a1,a2,...,ak) с натуральными компонентами. При шифровании i-я буква каждого блока заменяется буквой, стоящей в алфавите на ai позиции правее ее (сдвиг циклический). Зная, что k=3, расшифруйте криптограмму
ВМВЪСМЫУДЪСМОЧДЪЫДЪСМСБЖЪСД